Cómo encontrar la curva de límite de una superficie, como la cinta de Moebius?

Question

Me siento como que me falta una pieza clave de la intuición, tratando de entender esto. Recién he comenzado a usar el Stoke del teorema y tengo problemas para ver lo que la curva de límite de superficies. En algunos casos es fácil... como un hemisferio por ejemplo. Pero, ¿qué acerca de la curva de límite de la superficie dada a continuación

Podría alguien explicar lo que esta curva de límite de la superficie de abajo y sólo algunos conceptos básicos de cómo encontrarlo. He leído y re-leído mi libro, pero todos los ejemplos en que hay cosas como un hemisferio.

Esperar así que no estoy tan seguro de que es un toro más, ha sido un largo día, la superficie está dada por: $$x=[1+u\cos (t)]\cos (2t), \quad y=[1+u\cos (t)]\sin (2t), \quad z=u\sin (t)$$ $$- \frac{1}{2} \le u \le \frac{1}{2} \quad , 0 \le t \le \pi$$

Gracias :-)

Answer 1

Esta es una cinta de Moebius, lo siguiente es lo que me atrajo en MATLAB basado en su parametrización:

El límite se obtiene sólo por, primera toma de $u$$1/2$, para el ángulo de parte, imaginar partimos de un punto en el límite, vamos a llegar al otro lado al $t$ cambios de$0$$\pi$, luego de vuelta a donde empezamos después de $t$ hace $2\pi$. Por lo tanto, la curva de límite debe ser:

$$x(t)=[1+\cos (t)/2]\cos (2t), \quad y(t)=[1+\cos (t)/2]\sin (2t), \quad z(t)=\sin (t)/2$$ $$0 \le t \le 2\pi$$

$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ También otra forma de extraer la curva de límite sería dejar que $u$$1/2$$-1/2$, y deje $t$ cambios de$0$$\pi$, dos formas son equivalentes.

Ahora supongamos que queremos aplicar el teorema de Stokes para un campo de vectores $\v{F}$ en la superficie de este:

$$ \int_{M} \nabla \times\v{F} \cdot \v{n} \,dS = \oint_{\gamma} \v{F} \cdot d\v{r} $$ donde $\v{r}(t) = \langle x(t),y(t),z(t)\rangle$, y en la parte derecha sería $$ \oint_{\gamma} \v{F} \cdot d\v{r} = \int^{2\pi}_0 \v{F}(x(t),y(t),z(t))\cdot \v{r}'(t)\,dt $$

where $\gamma$ es el directioned curva de límite parametrizado por encima.

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Adjunto el MATLAB fragmento de código se puede probar por ti mismo:

[u t] = meshgrid(-0.5:0.01:0.5,0:pi/100:pi);
x = (1+u.*cos(t)).*cos(2*t);
y = (1+u.*cos(t)).*sin(2*t);
z = u.*sin(t);
c = sqrt(x.^2+y.^2+z.^2);
surf(x,y,z,c,'facealpha',0.5,'edgealpha',0.3)