Demostrar que $\left(1-\frac1n\right)\left(1+\frac{\ln(1-\frac1n)}{\ln n}\right)\le1-\frac1n-\frac{M}{n^s}$ por cada $n$ lo suficientemente grande, para cada $s>1$

Question

Dejemos que $$b_{n} = \frac{1}{(n-1)\ln(n-1)}\qquad \qquad \forall n\in\Bbb N.$$

Quiero demostrar que $$\frac{b_{n+1}}{b_{n}} \leq \Big(1-\frac{1}{n}-\frac{M}{n^{s}}\Big)$$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ y todos $s>1$ .

Ya he demostrado que $$\frac{b_{n+1}}{b_{n}} = \Big(1-\frac{1}{n}\Big)\Big(1+\frac{\ln(1-\frac{1}{n})}{\ln{n}}\Big) \qquad \forall n\in\Bbb N.$$

Answer 1

Para $ln(n)$ puede utilizar el hecho de que $lim_{x \to \infty} \frac{ln^{\alpha} x}{x^k} = 0$ para todos $\alpha \in R$ y $k > 0$ : Este hecho demuestra que $ln x$ tiene la menor asíntota en $\infty$ . En otras palabras: $ln(x) \leq x^k$ por cada $k > 0$ en el $\infty$ . O $\frac{1}{ln(x)} \geq \frac{1}{x^k}$ o $ -\frac{1}{ln(x)} \leq -\frac{1}{x^k} $ .

Se puede utilizar la serie de Taylor para ln: $ln(1 - x) = -\sum_{i = 1}^\infty \frac{x^i}{i}$ . El primer elemento es -x, por lo que x = $\frac{1}{n}$ y podrá obtener lo que necesita. Así que vamos a rockear:

$1 - \frac{1}{n} + (1 - \frac{1}{n})(-\frac{1}{nln(n)}) - O(\frac{1}{n^2}) \leq 1 - \frac{1}{n} -\frac{1}{n^{1 + k}} - O(\frac{1}{n^2}) \leq 1 - \frac{1}{n} -\frac{1}{n^{1 + k}}$ . $O(\frac{1}{n^2})$ - desaparece, porque es negativo.