Demostrar que $\sum\limits_{i=1}^{k} \cos^2\left(\frac{2i\pi}{k}\right) = \frac{k}{2}$

Question

Yo estaba mirando el sólido de revolución generado por el rotativo $\cos(x)$ sobre el $x$-eje en el intervalo de $[0, 2\pi]$, y me di cuenta de que cuando el volumen del sólido que se aproximó con $3$ o más cilindros a través de la disco método de la aproximación sería igual el verdadero volumen. Para probar esto, deduje que es suficiente para mostrar $$\sum_{i=1}^{k} \cos^2\left(\frac{2i\pi}{k}\right) = \frac{k}{2} \text{, } k \geq 3$$ que Wolfram Alpha confirma para ser verdad. Sin embargo, después de un montón de prueba y error, aún soy incapaz de probar este. Es cualquiera que esté familiarizado con el tipo de suma? Gracias de antemano.

Answer 1

Uno tiene

$$\cos^2{x}={1+\cos{2x}\over 2}$$

Por lo que la suma reescribe como

$$\sum_{i=1}^k\cos^2{2i\pi\over k}={k\over 2}+{1\over 2}\sum_{i=1}^k\cos{4i\pi\over k}$$

re-etiquetar el índice así que no hay confusión con $i=\sqrt{-1}$

$$\sum_{m=1}^k\cos{4m\pi\over k}=\sum_{m=1}^k\mathfrak{R}(e^{4im\pi\over k})=\mathfrak{R}\left(\sum_{m=1}^ke^{4im\pi\over k}\right)$$

Poner $q=e^{4i\pi\over k}$. La suma es uno de una progresión geométrica de primer término $q$ y la razón $q$. De modo que la suma de $q\neq 1$ i.e $k\gt 2$ es

$$q{1-q^k\over 1-q}=0$$

Answer 2

Es claramente falso. Deje $k=1$. A continuación, el lado derecho es igual a $1/2$, mientras que el lado izquierdo se reduce a $\cos^2(2\pi)=1.$

Answer 3

Sugerencia: Como ya se ha señalado por otros usuarios, el resultado parece ser falso, sin más condiciones. Con el fin de determinar el valor de la suma, puede utilizar la Identidad de Euler

$$\cos x = \dfrac{\exp(ix)+\exp(-ix)}{2}.$$

Para tu problema de $x = \dfrac{2\pi}{k}$. Junto con la suma geométrica finita

$$S = 1 +q +q^2 + \ldots + q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

usted será capaz de determinar una solución de forma cerrada para la suma. Puede utilizar este método para los poderes arbitrarios de seno y coseno.

Answer 4

No es una solución muy elegante, pero se vuelve fácil si usted utiliza: $$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

A continuación,$\cos(x)^2=\frac{e^{2ix}+2+e^{-2ix}}{4}=\frac{e^{2ix}}{2}+\frac{1}{2}+\frac{e^{-2ix}}{2}$.

Su suma se convierte en $$\sum_{n=1}^{k}\frac{e^{2ix}}{2}+\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{k}\frac{e^{-2ix}}{2}$$ when $x=\frac{2\pi n}{k}$, and $k\geq 2$, this sum reduces to $\frac{k}{2}$ since $$\sum_{n=1}^{k}e^{\frac{2i\pi n}{k}}=\sum_{n=0}^{k-1}e^{\frac{2i\pi n}{k}}=\frac{1-1}{e^{\frac{2\pi i}{k}}-1}$$ Notice that we would be dividing by $0$ if $k=1$.