*-las representaciones de la densa subalgebras

Question

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert separable y deje $K(H)$ ser la C*-álgebra de operadores compactos en $H$. Supongamos que $A$ es *-subalgebra de $K(H)$ que contiene todas las finito-clasificación de los operadores. Dado un *representación de $\pi\colon A\to B(K)$ en algunas de espacio de Hilbert $K$. De lo anterior se sigue que el $\|\pi(a)\|\leqslant \|a\|_{K(H)}$?

Yo estaba tratando de jugar con la singularidad de el *-irreductible a la representación de $K(H)$, pero hasta ahora sin éxito.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\etiqueta{1} \|\pi(a)\|^2=\|\pi(a)^*\pi(a)\|=\|\pi (^*)\|. $$ Así que sólo se preocupan por la norma de elementos positivos en $A$. Para $a\in A$, el operador $a^*a$ es compacto y por tanto es de la forma $a^*a=\sum_{j=1}^\infty\lambda_j\,p_j$, para el rango de una de las proyecciones de $p_1,p_2,\ldots\in A$ (desde $A$ contiene todos finito-rango de proyecciones). Entonces $$\etiqueta{2} \|\pi (^*)\|=\left\|\sum_{j=1}^\infty\lambda_j\,\pi(p_j)\right\|\leq\max\{\lambda_j:\ j=1,2,\ldots\}=\|^*\|=\|\|^2 $$ (tenga en cuenta que desde $\pi$ es una representación, $\pi(p_1),\pi(p_2),\ldots$ son parejas proyecciones ortogonales, con algunos de ellos posiblemente cero).

La combinación de $(1)$$(2)$, obtenemos que $\pi$ es una contracción.