Ecuación Diferencial parcial - cambio de variables

Question

Me ha dado la siguiente; $u(x,y)$ satisfes,

$$2\frac{\partial ^ 2u}{\partial x^2} +3\frac{\partial ^ 2u}{\partial y^2}-7\frac{\partial ^ 2u}{\partial x \partial y}=0 $$

Usar un cambio de variables, y adecuado constantes en los enteros $\alpha$ $\beta$ a transformar la anterior en

$\frac{\partial ^ 2u}{\partial \eta \partial \xi} = 0$

donde tenemos, $$\xi = x + \alpha y$$ $$\eta = \beta x + y$$

Así que aquí está mi respuesta:

Por escritura $x$ $y$ en términos de $\eta$ $\xi$ tenemos, $$x = \frac{\alpha \eta - \xi}{\alpha \beta - 1}$$ $$y = \frac{\beta \xi - \eta}{\alpha \beta - 1}$$

Esto nos da que

$$\frac{\partial x}{\partial \eta} = \frac{\alpha}{\alpha \beta - 1}, \ \ \ \ \ \ \frac{\partial x}{\partial \xi} = \frac{-1}{\alpha \beta - 1}$$ $$\frac{\partial y}{\partial \eta} = \frac{-1}{\alpha \beta - 1}, \ \ \ \ \ \ \frac{\partial y}{\partial \xi} = \frac{\beta}{\alpha \beta - 1}$$

Así que, usando la regla de la cadena, obtenemos $$\frac{\partial }{\partial \xi} = \frac{\partial x}{\partial \xi}\frac{\partial }{\partial x} + \frac{\partial y }{\partial \xi}\frac{\partial}{\partial y} $$ $$\frac{\partial }{\partial \eta} = \frac{\partial x}{\partial \eta}\frac{\partial }{\partial x} + \frac{\partial y }{\partial \eta}\frac{\partial}{\partial y} $$

Poniendo a estos en conjunto, se consigue $$\frac{\partial ^2 }{\partial \xi \partial \eta} = (\frac{\partial x}{\partial \eta}\frac{\partial x}{\partial \xi })\frac{\partial ^2 }{\partial x^2} + (\frac{\partial y}{\partial \eta}\frac{\partial y }{\partial \xi})\frac{\partial ^2}{\partial y^2} + (\frac{\partial x}{\partial \xi}\frac{\partial y}{\partial \eta} + \frac{\partial x}{\partial \eta}\frac{\partial y}{\partial \xi})\frac{\partial ^2}{\partial x \partial y}$$ Conectar nuestro trabajo para las derivadas parciales de $x$$y$, obtenemos

$$\frac{\partial ^2 }{\partial \xi \partial \eta} = \frac{-\alpha}{(\alpha \beta - 1)^2}\frac{\partial ^2 }{\partial x^2} + \frac{-\beta}{(\alpha \beta - 1)^2}\frac{\partial ^2}{\partial y^2} + \frac{\alpha \beta + 1}{(\alpha \beta - 1)^2}\frac{\partial ^2}{\partial x \partial y}$$

Si tratamos de encontrar un adecuado $\alpha$ $\beta$ nos encontramos con que $\alpha$ $\beta$ deben ser negativo, pero el $\alpha \beta + 1$ es positivo lo que significa que no hay tal $\alpha$ , $ \beta$ existen Alguien puede encontrar el error en mi funcionamiento y decirme cómo solucionarlo?

Answer 1

Escrito $x,y$ en términos de $\eta, \xi$ complica las cosas y no necesitamos hacer eso. Tenga en cuenta que $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \eta}+\beta \frac{\partial u}{\partial \xi}$$ y así $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial ^2 u}{\partial \eta^2}+\beta^2\frac{\partial ^2u}{\partial \xi^2}+2\beta \frac{\partial^2 u}{\partial \eta \partial \xi}$$ Del mismo modo, $$\frac{\partial u}{\partial y} = \alpha \frac{\partial u}{\partial \eta}+\frac{\partial u}{\partial \xi}$$ $$\implies \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \alpha^2 \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}+\frac{\partial u^2}{\partial \xi^2}+2\alpha \frac{\partial^2 u}{\partial \eta\partial \xi}$$ Finalmente, $$\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}+\beta \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}+(1+\alpha\beta)\frac{\partial^2 u}{\partial \eta\partial \xi}$$ y así $$0=2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + 3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}-7\frac{\partial^2u}{\partial x \partial y}$$ $$ = (2+3\alpha^2-7\alpha)\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}+(2\beta^2+3-7\beta)\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}+(6\beta+9\alpha-7-7\alpha\beta)\frac{\partial^2 u}{\partial \eta \partial \xi}$$ Ahora usted puede resolver por $\alpha, \beta$ mediante el establecimiento de los dos primeros coeficientes iguales a cero.