¿Qué es un predual del espacio de Banach de operadores compactos sobre $\ell^2$ ?

Question

Me pregunto si el espacio $K(\ell^2)$ de operadores compactos en $\ell^2$ puede tener un predual.

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Este es el argumento de un teórico del operador.

Supongamos que $K(\ell_2)$ es un espacio de Banach dual. Dado que $K(\ell_2)$ es un $C^*$ -por el teorema de Sakai tenemos que $K(\ell_2)$ es un álgebra de von Neumann. Tomemos cualquier $a\in K(\ell_2)$ con una imagen de dimensión infinita. Dado que $K(\ell_2)$ es un álgebra de von Neumann, entonces existe una proyección ortogonal $p\in K(\ell_2)$ en $\operatorname{Im}(a)$ . Así que $\operatorname{Im}(p)$ es de dimensión infinita, lo cual es imposible porque $p$ es compacto. Contradicción, por lo que $K(\ell_2)$ no es un espacio dual.

Answer 2

Esta es la esencia del argumento dado en el documento vinculado en mi comentario anterior:

En dicho trabajo se demuestra que si $H$ es un espacio de Hilbert separable, entonces $K(H)$ es separable (mira los operadores de rango finito) y que $K(H)$ contiene en copia isomorfa de $c_0$ (fijar una base ortonormal y observar los operadores de multiplicación inducidos por elementos de $c_0$ ).

$c_0$ sin embargo, no se incrusta en un espacio dual separable. Véase, por ejemplo, Kalton y Albiac, Temas de la teoría de los espacios de Banach , Teorema 6.3.7 .

De ello se deduce que $K(H)$ no es isomorfo a un espacio dual si $H$ es separable (de hecho, no es isomorfo a ningún subespacio de un espacio dual separable).

Answer 3

Permítanme dar un enfoque alternativo.

Los espacios duales separables tienen la propiedad Radon-Nikodym. El álgebra de operadores compactos sobre un espacio de Hilbert separable e infinito es, por supuesto, separable. La bola unitaria cerrada de un espacio con la propiedad de Radon-Nikodym es el casco convexo cerrado de sus puntos extremos (utilizando un lenguaje elegante: La propiedad de Radon-Nikodym implica la propiedad de Krein-Milman).

Pero espera... un punto extremo en la bola unitaria cerrada de un álgebra C* debe ser una isometría parcial por lo que, en particular, el álgebra C* subyacente debe tener una proyección con rango infinito, lo que no es el caso de $\mathscr{K}(H)$ - por lo tanto, no hay puntos extremos en la bola de los compactos en absoluto.