EDIT: Esto ha sido editado, así que por favor sólo echar un vistazo a la 2ª pregunta D.
Yo no soy muy bueno con la topología, pero me gustaría algún consejo sobre mi tarea y si es posible, para verificar si lo que he hecho es correcto. Mientras todavía soy muy nuevo en topología me gustaría algún consejo que me ayude a averiguar la respuesta correcta a las que he llegado incorrecta.
La primera pregunta. Dejamos $X=\{1,2,3\}$ y una función de $N$ $X$ dado por: $N(1)=\{\{1,2\},\{1,2,3\}\}$
$N(2)=\{\{2,3\},\{1,2,3\}\}$ $N(3)=\{\{2,3\},\{1,2,3\}\}$
A) Demostrar que $N$ no define un barrio de la topología en $X.$
Mi respuesta:los Siguientes a partir de la 4ta barrio axioma, $\{1\}$ no está contenido en $\{2,3\}$ por lo tanto $N$ no define un barrio de la topología en $X.$
B) Agregar un número mínimo de los barrios a la definición anterior $N$, para obtener un barrio de la topología.
Mi respuesta: puedo hacer los siguientes cambios para obtener un barrio de la topología:
$N(1)=\{\{1,2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\},\ N(2)=\{\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\}\},\\ N(3)=\{\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}$
La segunda pregunta:
Considerar el límite superior de la topología:
$N(x)=\{N \subseteq \Bbb R\mid \exists a,b\in\Bbb R: x \in (a,b] \subseteq N\}$
A) Demostrar que $N$ es un barrio de la topología en $\Bbb R$ (números reales)
Mi respuesta: yo asumo que esta es donde muestro las 4 definiciones que definen a un Barrio y volver a escribir para que se ajuste a esta topología.
B) ¿Qué hace una convergencia de una secuencia en esta topología de decir?
Mi respuesta: Si $X_n$ converge a $x$ en esta topología, a continuación, significa:
$ \forall a,b \in \mathbb{R}: a<x \le b: \exists n_0 \in \mathbb{N}: \forall n>n_0: X_n \in (a,b]$
Lo que básicamente significa que si $X_n$ converge en esta topología, a continuación, se converge en el tráfico de la topología.
C) Probar o refutar que $1/n$ converge a $0$ en esta topología.
Mi respuesta: no convergen porque si tenemos $(-1,0],$ contiene $0$ pero no contiene puntos de a $1/n.$
D) Si ${a_n}$ ${b_n}$ convergen, cuál de las siguientes limitar las reglas siguen siendo válidas?
1: $\lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)=\lim_{n \to \infty}(a_n)+\lim_{n \to \infty}(b_n)$
2: $\lim_{n \to \infty}(ca_n)=c \lim_{n \to \infty}(a_n)$
3: $\lim_{n \to \infty}(a_n b_n)=\lim_{n \to \infty}(a_n) \lim_{n \to \infty}(b_n)$
4: $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}= \frac{\lim_{n \to \infty}(a_n)}{\lim_{n \to \infty}(b_n)}$
5: La existencia de $\overline{n}$ $a_n \le b_n$ todos los $n \ge \overline{n}$ implica $\lim_{n \to \infty}(a_n) \le \lim_{n \to \infty}(b_n)$
Mi respuesta: que yo aplique de 3 "lemas" que indica lo siguiente:
1: Si $x_n$ converge a x en el límite superior de la topología, a continuación, se converge en el tráfico de la topología.
2: $|x_n > x|=\infty$ implica que el $x_n$ no convergen en el límite superior de la topología
3: $|x_n > x|<\infty$ $x_n$ converge en el ordinario de la topología entonces también converge en el límite superior de la topología.
Esto significa lo siguiente para cada regla:
1: Este es aún válido y se sigue desde el 3 de lema.
2: Esto también es válido siguientes a partir de la 3ª lema sin embargo, sólo para $c>0$
3: no creo que este es válida después de la 2ª lema, a menos que ambas son mayores que 0.
4: puedo volver a escribir $\frac{1}{b_n}=c$. Si 3 es falso o verdadero, a continuación, el mismo se aplica a la presente.
5: no tengo ni la menor idea de cómo hacerlo, así que me gustaría una sugerencia.
Cualquier ayuda o verificación es apreciado.
