Relaciones entre series limitadas y convergentes.

Question

Me gustaría saber las relaciones entre series limitadas y convergentes. Por serie limitada me refiero a una serie cuya secuencia de sumas parciales está limitada. Por ejemplo, parece natural que si una serie es convergente, también está limitada, pero ¿se sostiene lo contrario?

Gracias por adelantado,

Answer 1

Siempre que tenemos una serie, $$\sum_{i=1}^{\infty} a_i,$$ nosotros "automáticamente" obtener dos secuencias de la serie:

1. La secuencia de términos, que es $a_1,a_2,a_3,\ldots$; y
2. La secuencia de sumas parciales, que es $s_1,s_2,s_3,\ldots$, donde $$\begin{align*} s_1 &= a_1\\ s_2 &= a_1+a_2\\ s_3 &= a_1+a_2+a_3\\ &\vdots\\ s_n &= \sum_{i=1}^n a_i = a_1+a_2+\cdots + a_n. \end{align*}$$

Cuando hablamos de la "convergencia de la serie", en realidad estamos hablando de convergencia de la secuencia de sumas parciales: la serie $\sum a_i$ converge si y sólo si la secuencia de $(s_n)$ converge. Es decir, las definiciones acerca de "serie" son realmente acerca de "la secuencia de sumas parciales", y así tiene la costumbre relación:

En particular, $$\sum_{i=1}^{\infty}a_i\text{ converges}\Longleftrightarrow \{s_i\}_{i=1}^{\infty}\text{ converges}\Longrightarrow \{s_i\}_{i=1}^{\infty}\text{ is bounded}\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{\infty}a_i\text{ is bounded}$$ (donde "es limitado" es como por su definición más arriba); pero es posible para $\{s_i\}_{i=1}^{\infty}$ a ser limitada, y no convergente, de modo que uno puede tener una serie de $\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ que es acotado (es decir, la secuencia de sumas parciales es limitado) pero no converge.

Un ejemplo sencillo de esto es $\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^n$. Las sumas parciales se $s_{2k+1} = -1$ $s_{2k}=0$ por cada $k$, por lo que la secuencia de sumas parciales es: $$-1,\ 0,\ -1,\ 0,\ -1,\ldots$$ que es acotada pero no es convergente. Por eso la serie es limitada, pero no convergente.

El correspondiente teorema de secuencias, como usted sin duda sabe, es:

Teorema. Si $\{b_n\}$ es una monótona secuencia, a continuación, $\{b_n\}$ converge si y sólo si es acotada.

¿Cómo traducir la serie? Cuando es la secuencia de sumas parciales monotono?

$\{s_i\}$ es creciente si y sólo si $s_n\leq s_{n+1}$ todos los $n$, si y sólo si $s_{n+1}-s_n\geq 0$ todos los $n$; pero $s_{n+1}-s_n = a_{n+1}$. Así:

La secuencia de sumas parciales de $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}a_i$ es creciente si y sólo si todos los términos de $a_i$ son no negativos. La secuencia de sumas parciales es estrictamente creciente si y sólo si todos los términos de $a_i$ son positivos.

Asimismo,

La secuencia de sumas parciales de $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}a_i$ es decreciente si y sólo si todos los términos de $a_i$ son de valor no positivo. La secuencia de sumas parciales es estrictamente decreciente si y sólo si todos los términos de $a_i$ son negativos.

Así llegamos a la conclusión:

Teorema. Deje $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}a_i$ es una serie en la que cada plazo $a_i$ es no negativa. Entonces la serie converge si y sólo si a es acotado (en el sentido de que la secuencia de sumas parciales es limitado).

Answer 2

No, una serie limitada no necesariamente converge. Considere la serie$\displaystyle \sum (-1)^n $ (fuertemente relacionada con el ejemplo de Henning). Siempre oscilará entre 0 y 1 (o -1 y 0, dependiendo de los índices).

Pero si las sumas parciales son limitadas y monotónicas, entonces convergen.

Pero en cualquier caso, es un poco más débil que lo contrario: las series convergentes siempre tienen sumas parciales limitadas.

Answer 3

Una secuencia convergente está limitada, pero una secuencia limitada no es necesariamente convergente. Considere, por ejemplo, la secuencia (1, -1, 1, -1, 1, -1, ...).

Por otro lado, una secuencia acotada creciente (o decreciente) en$\mathbb R$ necesariamente convergirá.