¿Por qué mantiene$\operatorname{E}[Y\mid\mathcal{F}]=\operatorname{E}[Y\mid Y]=Y$, si$Y$ es$\mathcal{F}$ - medible?

Question

Vamos

• $(\Omega,\mathcal{A},\operatorname{P})$ ser un espacio de probabilidad
• $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{A}$ $\sigma$- álgebra en $\Omega$
• $Y\in\mathcal{L}^1(\Omega,\mathcal{A},\operatorname{P})$ ser medibles wrt $\mathcal{F}$

A continuación, $$\operatorname{E}[Y\mid\mathcal{F}]=\operatorname{E}[Y\mid Y]=Y$$

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A partir de la definición de esperanza condicional (ver más abajo) es fácil ver que tenemos $$\operatorname{E}[Z]=\operatorname{E}[Z'],$$ donde

• $Z:=\operatorname{E}[Y\mid\mathcal{F}]$
• $Z':=\operatorname{E}[Y\mid\sigma(Y)]=\operatorname{E}[Y\mid Y]$

Sin embargo, no veo cómo se puede concluir $Z\equiv Z'$ (casi seguramente) y $\operatorname{E}[Z']=Y$.

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Por favor nota:

Una variable aleatoria $Z$ se llama esperanza condicional de $X$ $\mathcal{F}$ $:\Leftrightarrow$

• $Z$ $\mathcal{F}$medible
• $\operatorname{E}[1_AX]=\operatorname{E}[1_AZ]$ todos los $A\in\mathcal{F}$

Escribimos $\operatorname{E}[X\mid\mathcal{F}]=:Z$. La notación $\operatorname{E}[X\mid X']$, $X'$ otra variable aleatoria, es una abreviación de $\operatorname{E}[X\mid\sigma(X')]$

Answer 1

Primero vamos a comprobar que $E[Y\mid\mathscr{F}]=Y$ siempre $Y$ $\mathscr{F}$- medible. Para ello, sólo es necesario demostrar que el $Y$ cumple los dos requisitos:

• $Y$ $\mathscr{F}$- medible: este es dado;
• $E[1_AY]=E[1_AY]$ todos los $A\in\mathscr{F}$: este es trivial.

A continuación, considere $E[Y\mid Y]$. Deje $\mathscr{G}=\sigma(Y)$, $\sigma$- álgebra generada por $Y$. Por supuesto, $Y$ $\mathscr{G}$medible, así que por el resultado demostró, tenemos $E[Y\mid Y]=E[Y|\mathscr{G}]=Y$. Llegamos a la conclusión de $$ E[Y\mid\mathscr{F}]=Y=E[Y\mid Y]\quad\text{siempre }Y\text{ es }\mathscr{F}\text {medible}. $$

Answer 2

Supongamos que$Z$ y$Z'$ son dos versiones de$E(Y|\mathcal F)$. Mirar $X:=Z-Z'$. Por definición de expectativa condicional,$E(X1_A)=0$ por cada$A\in\mathcal F$. Aplique esto al conjunto$X>\varepsilon$:$$0 = E(X1_{\{X>\varepsilon\}})\ge\varepsilon P(X>\varepsilon)$ $ Concluya que$P(X>\varepsilon) =0$ para cada$\varepsilon>0$. Finalmente, use el hecho de que$\{X>\frac1n\}\uparrow\{X>0\}$ para concluir$P(X>0)=0$. Similar $P(X<0)=0$.