Teorema de Bertini (libro de Hartshorne Thm II.8.18)

Question

Dejemos que $X$ sea una subvariedad cerrada no singular de $\mathbb{P}^n_k$ , donde $k$ campo algebraicamente cerrado. El Teorema de Bertini dice que existe un hiperplano $H \subset \mathbb{P}^n_k$ no contiene $X$ tal que $H\cap X$ es no singular.

En la prueba, para un punto de cierre $x\in X$ definen un mapa de $k$ - espacios vectoriales $\Gamma(\mathbb{P}^n_k,\mathcal{O} _{\mathbb{P}^n_k}(1)) \rightarrow \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak{m}^2_x$ . Utilizando este mapa, podemos saber que $B_x :=\{H | X\subseteq H~ \mbox{or} ~X \nsubseteq H ~\mbox{but}~ x\in H\cap X,~ \mbox{and}~ x ~\mbox{is not a nonsigular point of}~ H\cap X \}$ es un sistema lineal de hiperplanos de dimensión $n-r-1$ donde ${\rm dim}X=r$ . Consideremos el sistema lineal completo $|H|$ como un espacio proyectivo y que $B$ sea el subconjunto de $X \times |H|$ formado por todos los pares $(x,H)$ tal que $x\in X$ es un punto cerrado y $H\in B_x$ . Entonces $B$ es el conjunto de puntos cerrados de un subconjunto cerrado de $X\times |H|$ diga $B'$ . asumimos que $B'$ se reduce.

Tengo una pregunta:

1. qué es $B'$ ? Creo que $B'$ es el cierre de $B$ ...
2. La proyección $P_1: B' \rightarrow X$ es sobreyectiva??? Sé que la preimagen del punto cerrado de X es no vacía....
3. $B'$ es irreducible con dimensión $n - 1$ ????

Answer 1

Primero un comentario. El Teorema de Bertini dice más de lo que usted afirma: dice que para $X\subset\mathbb P^n$ proyectivo no singular sobre $k=\overline k$ existe un subconjunto abierto denso $$U\subset |H|=\mathbb P^{n\ast}=\{\textrm{Hyperplanes in }\mathbb P^n\}$$ tal que $H\cap X$ es no singular de dimensión $r-1$ por cada $H\in U$ .

La estrategia de la prueba es la siguiente:

1. Demostrar que $B$ tiene la estructura de una variedad proyectiva.
2. Demuestre que la primera proyección $p_1:B\to X$ es suryente, y que tenemos $\dim\,B\leq n-1<n$ .

Si se hace esto, se demuestra el Teorema de Bertini. En efecto, $\dim\, B<n$ implica que la segunda proyección $p_2:B\to |H|$ envía $B$ en un adecuado subconjunto de $|H|=\mathbb P^{n\ast}$ . Además, $p_2(B)$ está cerrado porque $p_2$ es un mapa cerrado. Entonces es fácil ver que estábamos buscando el lugar "bueno" (abierto y denso) $$U=|H|\setminus p_2(B).$$

Ahora bien, no es restrictivo suponer que $r=\dim\,X<n-1$ . De hecho, si $X$ es una hipersuperficie lisa, podemos simplemente tomar $U=|H|\setminus X^*$ , donde $X^*$ es la variedad dual (cerrada en $|H|$ ).

En cuanto a tu primera pregunta, es lo siguiente: puedes considerar a la familia $B'\subset X\times |H|$ de subvariedades de $|H|$ definido por $$B'=\bigcup_{P\in X}\{P\}\times B_P\to X.$$ Los miembros ( $=$ fibras) de esta familia son claramente los espacios $B_P\subset |H|$ que son espacios proyectivos de dimensión $n-r-1$ Esto responde afirmativamente a su tercera pregunta. Así que $B'\to X$ es claramente sobreyectiva ya que asumimos que $n-r-1>0$ Y esto responde a su segunda pregunta.

Obsérvese (si se quiere) que para demostrar el punto 1. sólo hay que darse cuenta de que $B=B'\cap\mathcal H$ , donde $\mathcal H\subset \mathbb P^{n}\times\mathbb P^{n\ast}$ es el hiperplano universal.