Laplaciano en plano proyectivo

Question

El laplaciano de esfera unitaria con métrica estándar está bien estudiado. Ahora me pregunto qué es el espectro de Laplaciano en el espacio Proyectivo. Dado que el mapa de proyección es isometría localmente, supongo que tienen el mismo operador laplaciano, entonces, ¿tienen el mismo espectro laplaciano? Esto también me suena raro. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Deje $u$ ser $\Delta u=\lambda u$ sobre el espacio proyectivo $RP^n$, tire $u$ vuelta a $S^n$ tenemos una eigenfunction $u^*$ con el mismo autovalor. Uno puede encontrar $\alpha>0$ con $\alpha(\alpha-n-1)=-\lambda$, por lo que $p(x)=r^\alpha u^*(\theta)$ es armónica en ${\mathbb R}^{n+1}-\{0\}$, donde $(r, \theta)$ es el de coordenadas polares en ${\mathbb R}^{n+1}$. Uno puede comprobar esto mediante separación de variables. $p$ debe ser un polinomio homogéneo de grado $\alpha$ (primero por extraíble singularidad teorema vemos a $p$ es en realidad armónica en el conjunto de la ${\mathbb R}^{n+1}$, entonces uno puede utilizar Gilbarg-Trudinger Teorema 2.10 para mostrar $p$ es un polinomio) que resulta ser un número entero. Ahora por la construcción de $u^*$ vemos a $p$ es par, es decir, $p(-x)=p(x)$. Por lo tanto $\alpha$ es un entero par.

Por lo que el espectro de $RP^n$ es una parte del espectro de $S^n$, perdiendo las $\lambda$ que corresponden a odd $\alpha$.