Si el dual de un módulo se genera de manera finita y proyectiva, ¿podemos afirmar que el módulo en sí es?

Question

Suponga que $R$ es un anillo conmutativo y que $M$ es un (a la izquierda) $R$-módulo. Suponga también que sabemos que por alguna razón que $M^*:=\mathsf{Hom}_R(M,R)$ es finitely generado y proyectivo como (derecho) $R$-módulo. Podemos aducir que $M$ sí es finitely generado y proyectivo?

Es bien sabido que lo contrario es cierto, pero yo soy capaz ni probar ni refutar la anterior implicación.

Por supuesto, $M^{**}$ es finitely generado y proyectivo, pero en general la canónica de morfismos $j:M\to M^{**}$ no es inyectiva, donde no sé cómo utilizar este hecho. Puede alguien darme una pista, ya sea en la comprobación de la declaración o en la búsqueda de un contraejemplo?

Answer 1

Si $\operatorname{Hom}_R(M,R)=M^*$ es finitely generado y proyectivo, entonces $R^n\cong M^*\oplus N$, por lo que tenemos $$ M^{**}\oplus N^*\cong R^n $$ por lo $M^{**}$ es finitely generado y proyectivo. Por desgracia, la canónica homomorphism $M\to M^{**}$ no es ni inyectiva ni surjective, en general.

Un ejemplo trivial es $M=\mathbb{Q}$, $R=\mathbb{Z}$. Usted puede complicar la situación.

Sólo para darle el sabor, supongamos $R$ es un PID y que $M$ es finitely generado. A continuación, $M^*$ es finitely generado y libre: se pierde toda la información acerca de la torsión de la parte, cuando se hace el doble.