Un coche se mueve a 40 km / h. Una mosca a 100 km / h, comienza desde la pared hacia el automóvil (a 20 km) vuela al automóvil y regresa. ¿Cuántos viajes puede hacer?

Question

Un coche se mueve a una velocidad constante de 40 km/h a lo largo de una recta de la carretera que se dirige hacia una pared.Una mosca que volaba a una velocidad constante de 100 km/h, se inicia desde la pared hacia el coche en un instante, cuando el coche está a 20 km de distancia, moscas, hasta que alcanza el coche y viene de nuevo a la pared a la misma velocidad.Continúa para volar entre el coche y la pared hasta el coche llegar a la pared. Cuántos viajes ha hecho entre el coche y la pared?

No espero que la fuerza bruta porque ya lo hice. Algo como la aritmética/geométrica/progresión armónica va a satisfacer mi curiosidad.

Answer 1

Ha hecho infinidad de viajes. Cada viaje será más corto que el anterior, pero la mosca siempre llegará a la pared antes del automóvil, por lo que siempre tendrá espacio para un viaje más. Y uno más. Y uno más.

La longitud total a la que vuela la mosca es de 50 km, ya que el automóvil choca contra la pared exactamente 30 minutos después de que comenzó todo el experimento.

Answer 2

Supongamos que la mosca en la pared. Y supongo que este será el último viaje o parcial de viaje de la mosca. Supongamos que el coche es $h$ km.

La marcha y el coche tiene un total combinado de velocidad de $140 \frac {km}{hr}$ para que la mosca llegue el coche en $\frac h{140}$ horas. En ese momento el coche ha viajado $40\frac h{140} = \frac 27h$ y ahora es de $h-\frac 27h = \frac 57h$ de la pared. Así que la cabeza de la mosca de la espalda a la pared.

Como en el viaje de regreso es tan lejos esta toma de $\frac h{140}$ horas y el coche ha viajado a otro $\frac 27h$ y ahora es de $\frac 37h$ de la pared. [1]

Para que la mosca se inicia otro viaje, en contradicción de que esta fue su última. Para que la mosca nunca hace un último viaje a un lugar que hay un número infinito de viajes.

Averiguar en qué medida el volar, vuela es una cuestión de señalar el coche está en un camino recto y viaja $20km$ a $40 kmh$ por lo que este se lleva a $30$ minutos. La mosca no importa cuántas veces (infinitamente muchos) zigs viajará a $100kmh$. Así, en $30$ minutos vuela $50 km$.

Si uno desea configurar esto como una suma infinita.....

Cada viaje que el volar, vuela $\frac {10}7$ de la distancia a la que el coche estaba fuera. Y cada viaje que el coche es $\frac {3}{7}$ de la distancia a la que era antes. De manera que la distancia de la mosca viaja es $\sum_{k=0}^{\infty} \frac {10}7*(\frac {3}{7})^k*20$ que si lo hice correctamente es

$\frac {10}7*20(\sum_{k=0}^{\infty} (\frac {3}{7})^k)= \frac {200}{7}\frac 1{1-\frac {3}{7}} = \frac {200}{7}\frac {7}{4}= 50$km.

[1](para el registro, en este tiempo, $\frac 1{70}h$ horas, el coche ha viajado $\frac 47h$ y la mosca ha viajado $\frac {10}7h$).

Answer 3

Una forma sencilla de calcularlo: el automóvil tarda 30 minutos en recorrer los 20 km hasta la pared a 40 km / h. La mosca, viajando a 100 km / hr viajará 50 km en esos mismos 30 minutos.

Edición: Habrá un número infinito de viajes. Es similar a cómo funciona la paradoja de Zeno donde los viajes se acortan cada vez más y eventualmente toman una cantidad infinita de tiempo. Pero todos esos viajes infinitamente pequeños terminan como una cantidad finita de distancia.

Answer 4

Arthur la respuesta es muy buena, pero aquí es otra (igualmente válidas) forma de visualizar el problema:

Permítanos gráfica de las posiciones de la pared, mosca, y el coche a lo largo del tiempo. La pared no se mueve, por lo que es representado por una línea horizontal. El coche empieza a cierta distancia de la pared, sino que se mueve a una velocidad constante hasta que llega a la pared, por lo que tiene una línea que cruza la pared de la línea. Ahora la parte interesante:

El de la mosca de la ruta que comienza como una línea de mayor pendiente que la del coche de línea, hasta que llega a la pared de la línea. La mosca de la velocidad sigue siendo la misma, pero va en la dirección opuesta. Así que ahora el camino continúa como si el muro y la línea fue un espejo y se refleja. Cuando la mosca golpea el coche, lo mismo que sucede-la mosca del camino se refleja y se sigue hacia la pared de nuevo (una advertencia: cuando rebota en el coche de línea, los ángulos de incidencia y reflexión son iguales por lo que no se comporta exactamente como la luz).

Así que podemos ver que el de la mosca de la ruta continúa rebotando arriba y abajo, siempre a la misma o la pendiente opuesta.

La última cosa a tener en cuenta para comprender la intuición es que este diagrama hemos construido es auto-similar. Si hacemos zoom en tanto que el segundo rebotar con la pared es donde el primer rebote, tenemos exactamente el mismo diagrama como antes. No voy a probar esta, pero si se dibuja, se puede ver de forma intuitiva. Esencialmente, esto significa que no importa cómo cerrar el coche llega a la pared, se puede ampliar la imagen y ver más rebotes para la mosca.