¿Es la función $f(x=\sum a_n/2^n)=\sum na_n/2^n$ continua y no diferenciable en ninguna parte?

Question

Dejemos que $x=\sum_{n=1}^\infty a_n/2^n$ sea la expansión binaria de un número real en $[0,1]$ . Supongamos que un número infinito de $a_n$ son $0$ para que la expansión sea única.

Definir $f(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n/2^n$ .

Es $f$ ¿constantemente?

Es $f$ ¿en ningún lugar diferenciable?

Si ambas respuestas son positivas, entonces parece que nos encontramos con un ejemplo particularmente sencillo de tales funciones, lo que me parece muy poco probable.

Answer 1

Si estamos comparando el valor de la función de dos números su función actúa como para recoger (y mejorar) cualquier diferencia en la expansión decimal de estos dos números.

Pero la expansión decimal de dos números cercanos puede ser completamente diferente. Por ejemplo (en base $10$ para simplificar) $x_n = 0.9999\ldots 9$ con $n$ nines converge como $n\to\infty$ a $x = 1.000000\ldots0$ que no tiene dígitos decimales en común con $x_n$ . Esto es incompatible con la continuidad de su función.

Usando la propiedad anterior puedes demostrar que tu función es discontinua en cualquier $x$ que tiene una expansión decimal binaria finita (es decir, números de la forma $a/2^b$ La Racionales diádicos ) y continua en caso contrario.

Para demostrar que no es diferenciable en este último conjunto consideremos $h = \frac{1}{2^N}$ para algún número entero $N$ tal que $x$ tiene un $0$ en el $N$ decimal (hay infinitos $N$ ). Entonces $x$ y $x+h$ están de acuerdo en la primera $N$ dígitos y no están de acuerdo con el $(N+1)$ 'th. Esto permite calcular $(f(x+h) - f(x))/h$ y tomar $N\to\infty$ para obtener el resultado.