Este teorema se puede encontrar, por ejemplo, en la Medida y la Integración de la Teoría de H. Bauer. Nos encontramos en el capítulo III Medidas del Producto, sección 23. Medidas del producto y del Teorema de Fubini:
Un útil y al mismo tiempo sorprendente consecuencia de Tonelli del teorema es que permite a$\mu$-integrales para ser expresada por medio de $\lambda^1$-integrales.
23.8 Teorema. Deje $(\Omega, \mathcal{A},\mu)$ ser $\sigma$-finito medir el espacio y $f:\Omega \to \mathbb{R}_{+}$ medibles, no negativo, la función real. Además, vamos a $\varphi:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}_{+}$ ser un continuo isótono función que es continuamente diferenciable en menos de $\mathbb{R_{+}^{\star}}:=]0,+\infty[$ y satisface $\varphi(0)=0$. Entonces
\begin{align*}
\int\varphi\circ f\,d\mu=\int_{\mathbb{R}_{+}^{\star}}\varphi^{\prime}(t)\mu(\{f\geq t\})\lambda^1(dt)\tag{%#%#%}
=\int_0^{+\infty}\varphi^{\prime}(t)\mu(\{f\geq t\})\,dt.
\end{align*}
El autor continúa después de la prueba de este teorema con un ejemplo que se OPs ejemplo 1, junto con un caso especial y una sugerencia.
Ejemplo. 2. La correspondiente hipótesis se ha cumplido una de las funciones $23.7$ con $\varphi(t):=t^p$. Por lo tanto para cada $p>0$medible función real $\mathcal{A}$ a $f\geq 0$
\begin{align*}
\int f^p\,d\mu=p\cdot\int_{0}^{+\infty}t^{p-1}\mu(\{f\geq t\})\,dt.\tag{%#%#%}
\end{align*}
Cuando $\Omega$ obtenemos el especialmente importante fórmula
\begin{align*}
\int f\,d\mu=\int_{\mathbb{R}_{+}}\mu(\{f\geq t\})\lambda^1\,(dt)=\int_0^{+\infty}\mu(\{f\geq t\})\,dt.\tag{%#%#%}
\end{align*}
El lector no debe pasar por alto el significado geométrico de esta, que es la integral de la $23.9$ está formado verticalmente, mientras que la integral en el lado derecho de la $p=1$ se forma horizontal.
Un poco más de configuración específica se expresa en la Teoría de la Medida por el D. L. Cohn. Nos encontramos en el capítulo 5 Medidas del Producto, sección 3 Aplicaciones:
Comenzamos por señalar un par de fácil-a-derivar consecuencias de la teoría de producto de medidas.
Deje $23.10$ ser $\int f\,d\mu$-finito medir el espacio, vamos a $(23.10)$ ser medida de Lebesgue en $(X,\mathcal{A},\mu)$, y deje $\sigma$ ser $\lambda$-medible. ...
Así pues, tenemos la frecuencia útil relación
\begin{align*}
\int_Xf(x)\mu\,(dx)=\int_0^{\infty}\mu(\{x\in X:f(x)>y\})\,dy.
\end{align*}
y nos encontramos en los ejercicios de la parte de esta sección:
2. Deje $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ ser $f:\to [0,+\infty]$-finito medida en $\mathcal{A}$, vamos a $\mu$ ser $\sigma$medible, y deje $(X,\mathcal{A})$ satisfacer $f:X\to[0,+\infty]$. Mostrar que
\begin{align*}
\int f^p\,d\mu=\int_0^\infty pt^{p-1}\mu(\{x:f(x)>t\})\,dt.
\end{align*}
Podemos encontrar en Una Concisa Introducción a la Teoría de la Integración por D. W. Stroock en el capítulo V de los Cambios de Variable, la sección 5.1 Lebesque Integrales frente de las Integrales de Riemann:
5.1.4 Teorema. Deje $\mathcal{A}$ ser una medida en el espacio y el $p$ un no-negativo, mensurables de la función en $1\leq p<+\infty$. A continuación, $(E,\mathcal{B},\mu)$ es un derecho-continua, no aumenta la función. En particular, es medible en $f$ y tiene más de un conteo del número de discontinuidades. A continuación, supongamos que $(E,\mathcal{B})$ no es una función decreciente de satisfacciones $t\in(0,\infty)\mapsto\mu(f>t)\in[0,\infty]$ y establezca $\left((0,\infty),\mathcal{B}_{(0,\infty)}\right)$. Entonces
\begin{align*}
\int_{E}\varphi \circ f(x)\mu(dx)=\int_{(0,\infty)}\varphi^{\prime}(t)\mu(f>t)\lambda_{\mathbb{R}}(dt).\tag{%#%#%}
\end{align*}
Por lo tanto, cualquiera de las $\varphi\in C\left([0,\infty]\right)\cap C^1\left((0,\infty)\right)$ para algunos $\varphi(0)=0<\varphi(t),t>0$, en cuyo caso ambos lados de (5.1.5) son infinitas, o para cada una de las $\varphi(\infty)=\lim_{t\to\infty}\varphi(t)$ el mapa de $5.1.5$ es Riemann integrable y
\begin{align*}
\int_E\varphi\circ f(x)\mu(dx)=\lim_{{\delta\searrow 0}\atop{r\nearrow\infty}}(R)\int_{[\delta,r]}\varphi^{\prime}(t)\mu(f>t)dt.
\end{align*}
Nos encontramos en los ejercicios de la parte de esta sección:
5.1.6 Ejercicio: Aquí hay dos aplicaciones conocidas de las ideas discutidas en esta sección.
- (i) Deje $\mu(f>\delta)=\infty$ ser un continuo y no la disminución de la función en el intervalo compacto $\delta>0$. Mostrar que
\begin{align*}
(R)\int_{[a,b]}f\circ \psi(s)\,d\psi(s)=(R)\int_{[\psi(a),\psi(b)]}f(t)\,dt,\qquad f\in C([a,b]).\tag{%#%#%}
\end{align*}
- (ii) Supongamos que $0<\delta<r<\infty$ es una medida en $t\in[\delta,r]\mapsto\varphi^{\prime}(t)\mu(f>t)$ con las propiedades que $\psi$ para cada intervalo compacto $[a,b]$ e $5.1.7$ por cada $\mu$. Deje $(\mathbb{R},\mathcal{B}_{\mathbb{R}})$ ser una función de la satisfacción de $\mu(I)<\infty$ para todos los $I$. Tenga en cuenta que $\mu(\{t\})=0$ es necesariamente continuo y no decreciente, y muestran que la $t\in\mathbb{R}$ coincide con la restricción de $\Phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a $\mu([a,b])=\Phi(b)-\Phi(a)$.
5.1.8 Ejercicio: Una particularmente importante en el caso del Teorema 5.1.4 es cuando $-\infty<a<b<\infty$ para algunos $\Phi$, en cuyo caso (5.1.5) los rendimientos
\begin{align*}
\int_{E}|f(x)|^p\mu(dx)=p\int_{(0,\infty)}t^{p-1}\mu\left(|f|>t\right)\lambda_{\mathbb{R}}(dt).\tag{%#%#%}
\end{align*}
Uso (5.1.9) para mostrar $\Phi_{\star}\mu$ es $\lambda_{\mathbb{R}}$-integrable si y sólo si
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{p+1}}\mu\left(|f|>\frac{1}{n}\right)+\sum_{n=1}^\infty n^{p-1}\mu\left(|f|>n\right)<\infty.
\end{align*}
