Parte $1$: La cardinalidad es incontable, con una salvedad:
La cardinalidad de esta clase de equivalencia es, a primera vista, incontables. Para la notación de amor, nos vamos a denotar esta clase por $\overline{\aleph_0}$, para evitar la confusión con el cardenal.
Se sabe que la cardinalidad de los reales, el de la continuidad es mayor que la de $\aleph_0$ (conocida a partir de Cantor en diagonal del argumento). Tomando esto y que $| \Bbb N | = \aleph_0$ como se da, considere los conjuntos de $\Bbb N \cup \{x\}$ donde $x \in \Bbb R \setminus \Bbb N$ es fijo. Es trivial demostrar que este nuevo conjunto de cardinalidad igual a la de $\aleph_0$.
Consideremos el conjunto de todos los conjuntos, para la variable $x$ un número real, pero no natural. Debe quedar claro que, ya que usted tiene un conjunto único para cada número real, entonces el conjunto es bijective con los reales menos el de los naturales (que obviamente es el mismo que el de reales en términos de cardinalidad). Se podría definir el bijection explícitamente:
$$f : \Bbb R \setminus \Bbb N \to \bigcup_{x \in \Bbb R \setminus N} \left\{ \Bbb N \cup \{x\} \right\} \;\;\;\;\; x \mapsto \left\{ N \cup \{x\} \right\}$$
(Anécdota, esto motivó la restricción innecesaria que $x$ no es un número natural, la simplicidad y claridad que $f$ es un bijection. Sólo en caso de que usted pensó que era extraño.)
Por lo tanto, dado que los conjuntos son bijective, comparten la cardinalidad, es decir,
$$\overline{\aleph_0} \geq \left| \bigcup_{x \in \Bbb R \setminus N} \left\{ \Bbb N \cup \{x\} \right\} \right| = |\Bbb R \setminus \Bbb N| = | \Bbb R | = c > \aleph_0$$
Así, por construcción, no han encontrado un subconjunto de a$\overline{\aleph_0}$ que es uncountably infinito.
(Tenga en cuenta que esto no significa que $|\overline{\aleph_0}| = c$, debido a que es un subconjunto, y que no necesita tener. No hacer una afirmación como a los específicos)
Parte $2$: La cardinalidad de a$\overline{\aleph_0}$ es realmente no bien definidas:
La continuación lógica de la pregunta es obvia: ¿cuál es la cardinalidad de a$\overline{\aleph_0}$ si no $\aleph_0$?
De hecho, no puede haber tal cardinalidad asignado a la clase.
Aviso de que nuestro método anterior, esencialmente, nos permite construir un subconjunto de a$\overline{\aleph_0}$ de cualquier cardinalidad. Deje $S$ ser un conjunto de cardinalidad $|S|$. Luego generalizar nuestro argumento de antes por dejar que las $x$ ser de, no $\Bbb R \setminus \Bbb N$, pero $S$ (menos los miembros de $\Bbb N$ en $S$ si así lo desea). La redefinición de la $f$ a cuenta de los evidentes cambios en el argumento anterior, a continuación, muestra que $\overline{\aleph_0} \geq |S|$, contradiciendo la asignación de los cardenales para elegir adecuadamente, $S$.
Es bien sabido que no existe el "máximo cardenal", es decir, siempre hay un conjunto con una mayor cardinalidad (siempre hay un pez más grande, como lo fueron). No se puede asignar un valor a $\overline{\aleph_0}$, debido a que se tiene un conjunto con una mayor cardinalidad, desde el que se podía construir subconjuntos de a$\overline{\aleph_0}$, y por lo tanto tienen un subgrupo con mayor cardinalidad de a$\overline{\aleph_0}$.
Se tiene el tipo de sabor de Russel paradoja.
Parte $3$: conclusión:
La conclusión es - para hablar acerca de la cardinalidad del conjunto de $\overline{\aleph_0}$ es en su mayoría sin sentido. Si existiera, sería incontable - pero para asignar dicha cardinalidad sería contradictorio. $\overline{\aleph_0}$ es justo que las grandes.
Créditos a bof, los comentarios de la pregunta para el cuerpo de la idea que llevó a la construcción de este argumento.
