Expectativa de inverso de suma de variables iid positivas

Question

Deje $(X_i)_{i}$ ser una secuencia de iid positivo variables de la media 1 y varianza $\sigma^2$. Deje $\bar{X}_n = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}$.

Mi pregunta es: ¿podemos enlazado $\mathbb{E}(1/\bar{X}_n)$ como una función de la $\sigma$ e $n$?

Parece ser que la estrategia de algunos que pueden obra basada en la extensión de taylor, pero

• No estoy seguro acerca de la hipótesis que deben ser cumplidos;
• si funciona en este caso; y
• si podemos decir algo definitivo en $\bar{X}_n$ o si necesitamos utilizar el teorema central del límite y sólo puedo decir esto por la aproximación normal?

Más detalles acerca de la expansión de Taylor. De acuerdo a este artículo de la wikipedia, $$\mathbb{E}(f(X)) \approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$$

Así que en mi caso iba a dar algo como: $$\mathbb{E}(1/\bar{X}_n) \approx 1 +\frac{\sigma^2}{4 n}$$ Estoy tratando de encontrar tal vez una prueba formal de un resultado similar, o hipótesis de lo que funciona. Tal vez las referencias? Gracias

EDIT: si es necesario, se puede considerar que el $(X_i)_i$ son discretos, no existe $v_1<\cdots<v_K$ tal que $\mathbb{P}(X=v_k)=p_k$ e $\sum p_k = 1$. En este caso sabemos que $\bar{X}_n \geq v_1$. Aunque creo que algo se puede decir en el caso general.

PS: esto es casi un cross-post de esto en las Matemáticas.SE.

Answer 1

Usted no se limitan a esa expectativa en $\sigma, n$. Eso es porque existe la posibilidad de que la expectativa no existen en absoluto (o, es $\infty$.) A ver yo he escuchado que las proporciones o los inversos de las variables aleatorias son a menudo problemático, en no tener expectativas. ¿Por qué es eso?. Si las condiciones no se cumple para la densidad de $X_1$, es así que para la densidad de $\bar{X}_n$. Si las densidades no existen, pero la probabilidad de masa funciones, es más simple, ya que su hipótesis prohibir una probabilidad átomo a cero, pero de una densidad de probabilidad, todavía puede ser positivo en cero, incluso si $P(X >0)=1$.

Para una útil enlazado al menos necesidad de restringir la distribución habitual de las $X_1, \dotsc, X_n$ mucho más.

EDIT

Después de que su información nueva, y con $v_1>0$, la expectativa de $1/\bar{X}_n$ sin duda existirán (independientemente de si $K$ es finito o no). Y, ya que la función $x\mapsto 1/x$ es convexa para $x>0$, podemos utilizar la Desigualdad de Jensen a la conclusión de que la $\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}\E 1/\bar{X}_n \ge 1/\E \bar{X}_n$.

Answer 2

Creo que tengo el quid de la cuestión. Dado que $f(x)=1/x$ es infinitamente diferenciable en 1. Taylor teorema nos dice:

Existe $\varepsilon>0$ tal que $f(x) = f(1) + f'(1) (x-1)+ \frac{f''(1)(x-1)^2}{2} + \frac{f'''(\varepsilon) (x-1)^2}{2}$.

En nuestro caso, si $X_i$ pertenece en el dominio de $[v_1;+\infty[$, a continuación, $\bar{X}_n$ tiene el mismo dominio y tenemos $\varepsilon \geq v_1$.

Por lo tanto $\mathbb{E}(1/\bar{X}_n) = \mathbb{E}\left (1 - (\bar{X}_n-1) + \frac{(x-1)^2}{4}+ \frac{f'''(\varepsilon) (\bar{X}_n-1)^2}{2} \right)$, y \begin{align*} \mathbb{E}(1/\bar{X}_n) &= 1 + \frac{f'''(\varepsilon) \mathbb{E}\left ((\bar{X}_n-1)^2\right )}{2} = 1 +\frac{ V(\bar{X}_n)}{4} - \frac{ V(\bar{X}_n)}{12 \varepsilon^4}\\ \end{align*} y por lo tanto $$1 + \frac{ \sigma^2}{4 n}- \frac{\sigma^2}{12 v_1^4 n} \leq \mathbb{E}(1/\bar{X}_n) \leq 1 + \frac{ \sigma^2}{4 n}.$$

Para el caso de que $X_i$ no admitir a un mínimo, pero tiene un número ilimitado de momentos, uno puede hacer una transformación similar utilizando la plena expansión de taylor:

\begin{align*} \mathbb{E}(1/\bar{X}_n) &= \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{f^{(i)}(1)}{i!}\mathbb{E}\left((\bar{X}_n-1)^i\right)\\ &= \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{(-1)^i}{i!i!}\mathbb{E}\left((\bar{X}_n-1)^i\right) \end{align*}

Ahora si podemos decir algo acerca de la $k^{th}$ momento de $\tilde{X}_n$ ser $O(1/n^{k/2})$ esto valida que $\mathbb{E}(1/\bar{X}_n) \approx 1 + \frac{ \sigma^2}{4 n}$.