A la pregunta correspondiente de la real especial ortogonal grupo es bien conocido - estos son los Spin grupos. Cuando uno mira en el complejo especial ortogonal grupos embargo, este no es el camino correcto a seguir: Grupo Fundamental de la Spin^c(V) no son triviales, y en el hecho de contener una copia de $\mathbb{Z}$.
Para bajo-ish números, podemos decir algo.
Cuando $n=1$, $SO(1,\mathbb{C})$ es trivial.
Siguiente, para $n=2$, esto es sólo $\mathbb{C}^\ast$, por lo que el grupo fundamental es el círculo de grupo y la cobertura universal es la superficie de Riemann correspondiente a $\log$, y con su natural estructura de grupo.
Para $n=3$ podemos pensar de $\mathbb{C}^3$ como el espacio de traceless $2\times 2$ matrices. En esta configuración, $g \in SL(2, \mathbb{C})$ hechos por la conjugación, y esto le da una doble cubierta de $SO(3, \mathbb{C})$, lo que revela la universalización de la cobertura, como $SL(2,\mathbb{C})$ es simplemente conectado. De hecho, es realizable como $S^3 \times H^3$, que utiliza la descomposición polar para darse cuenta de los elementos de $SL(2, \mathbb{C})$ como unitaria matrices junto con la positiva semi-definitiva, la auto-adjunto, especial lineal de las matrices. Esto puede ser usado para obtener la ecuación de la hyperboloid, de forma que se obtiene el producto de espacio por encima.
No tengo idea de lo que sucede, por $n > 3$ , aunque. Es una descripción general posible? Sé que $\pi_1(SO(n, \mathbb{C})) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ para todos los $n> 2$, como lo dice en la Wikipedia, pero se evade de mí por un momento acerca de cómo probar esto. Voy a pensar más en que a pesar de que, ya que es probable que sea similar a la de un caso real.
Actualización: me hizo averiguar por qué eso es cierto, con la ayuda de un amigo. $SO(n,\mathbb{C})$ es la complejización de la $SO(n,\mathbb{R})$, y por lo tanto el último es una máxima compacto subgrupo de la antigua. De este modo obtenemos una deformación de retracción y desde $n>2$, esto se conserva el grupo fundamental.
Tal vez debería aclarar la cuestión. Sé que no va a ser una secuencia exacta que viene de cubrir el espacio de la teoría:
$$1 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \widetilde{SO(n,\mathbb{C})} \to SO(n, \mathbb{C}) \to 1 $$
Lo que estaría bien es tal vez algo que explica esto en términos de álgebras de Clifford? Sé lo que son, pero no mucho acerca de ellos. Podemos describir este objeto de forma análoga a la manera en que la vuelta está descrito allí?
