Pregunta rápida pero no sencilla. $2^\sqrt2$ o e, ¿cuál es mayor?

Question

$2^\sqrt2$ vs $e$ ¿Cuál es mayor?

$(2^\sqrt2)^\sqrt2 = 4\quad $ & $\quad e^\sqrt2$ = ?

$\log(2^\sqrt2) = \sqrt2\log(2)\quad$ & $\quad \log(e) = 1$

Lo he intentado pero no puedo inducir una forma comparable.

¿Alguien sabe cómo probarlo?

Answer 1

Esto es lo mismo que comparar $\frac{3}{2}\log(2)$ y $1$ . Desde $x(1-x)$ es no negativo y está acotado por $\frac{1}{4}$ en $(0,1)$ tenemos $$ 0\leq\int_{0}^{1}\frac{x^2(1-x)^2}{1+x}\,dx \leq \frac{1}{16}$$ donde la integral del medio es exactamente $-\frac{11}{4}+4\log(2)$ . De ello se desprende que $$ \frac{33}{32} \leq \frac{3}{2}\log(2) \leq \frac{135}{128} $$ así que $\frac{3}{2}\log(2)>1$ y $\color{red}{2\sqrt{2}>e}$ .
Esta prueba sólo requiere una división polinómica, perfectamente realizable a mano.

Acerca de $\sqrt{2}\log(2)$ tenemos $$ \log(2)=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\leq\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k-1}}\stackrel{\text{CS}}{\leq}\lim_{n\to +\infty}\sqrt{n\sum_{k=n+1}^{2n}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)}$$ y el lado derecho es exactamente $\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Esto no es más que una hábil aplicación del telescopio creativo y de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Answer 2

En lugar de comparar $2^{\sqrt 2}$ y $e$ , subamos ambos a $\sqrt 2$ y comparar $2^2$ y $e^{\sqrt 2}$ : $$ e^{\sqrt 2} > 2.7^{1.4} \approx 4.017068799 > 4 = 2^2 $$ O utilizar ese $$ e^x > 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24} $$ con $x=1.41$ y obtener $$ e^{\sqrt 2} > e^{1.41} > 4.03594 > 4 $$ De hecho, $e^{\sqrt 2} \approx 4.113250377 > 4$ .

Answer 3

Si sabes que $\ln(2)\approx0.69$ y $1/\sqrt2=\sqrt2/2\approx1.414/2=0.707$ Entonces, usted tiene $\ln(2)\lt1/\sqrt2$ , en cuyo caso $\ln(2^\sqrt2)=\sqrt2\ln2\lt1=\ln(e)$ Por lo tanto $2^\sqrt2\lt e$ .

No es difícil demostrar que $\sqrt2\gt1.4$ ya que $1.4^2=1.96\lt2$ . Es un poco más complicado demostrar que $\ln(2)\lt0.7$ pero esto se puede hacer comparando el área bajo la curva $y=1/x$ a las áreas de los trapecios que lo contienen con puntos extremos en $x=1$ , $4/3$ , $5/3$ y $2$ :

$$\ln(2)=\int_1^2{dx\over x}\lt{1\over6}\left(1+2\cdot{3\over4}+2\cdot{3\over5}+{1\over2} \right)={1\over6}\left(1+{3\over2}+{6\over5}+{1\over2} \right)={1\over6}\cdot{42\over10}={7\over10}$$

Answer 4

$2\sqrt{2}^2 = 8$

$e^2 < 2.8*2.8 = 7.84$

De nada.

Answer 5

Dejemos que $f(x)=\ln(x),\,g(x)=x^{-1/2}$ . Por la serie de Taylor de $e^x$ tenemos

$$e^{-0.35}>1-0.35+\frac12\left(0.35\right)^2-\frac16\left(0.35\right)^3=0.704>0.7$$

Por lo tanto, $g(e^{0.7})-f(e^{0.7})=e^{-0.35}-0.7>0$ . La aplicación de la serie de Taylor muestra de nuevo

$$e^{0.7}>1+0.7+\frac{1}{2}(0.7)^2+\frac{1}{6}(0.7)^3=2.002>2$$

Observe que $f$ y $g$ son respectivamente estrictamente crecientes y decrecientes sobre $(0,\infty)$ Así que $g>f$ es válida para todos los $x$ en $(0,2.002)$ . Por lo tanto, $g(2)>f(2)$ , que se reordena a $e>2^{\sqrt{2}}$ . Estos cálculos son perfectamente factibles de realizar a mano.