G es homeomorfo a$G/H\times H$

Question

Sea G ser un grupo topológico y $H\le G$.

Deje $\pi: G\to G/H$ ser canónica de la proyección y de un continuo $\sigma: G/H\to G$ tal que $\pi \circ \sigma = Id$.

Demostrar que G es homeomórficos a $G/H\times H$.

Estoy confundido por esta cuestión, ya que $\pi$ es un bijective de morfismos así que más bien deberíamos tener $G\cong G/H$.

Gracias por su ayuda.

Editar

Gracias a sus comentarios/respuestas que he limpiado mi confusión. Ahora si vuelvo a la pregunta original. Wy es $G$ homeomórficos a $H\times G/H$.

Factorización teorema da un isomorfismo $G\cong H\times G/H$ porque $H=\ker \pi$ e $G/H=\text{Image}(\pi)$.

No veo cómo construir este homeomorphism con la mano.

Gracias de nuevo.

Answer 1

Sugerencia: considere $f:G/H\times H\rightarrow G$ definido por $f(x,y)=\sigma(x)y$ y $h:G\rightarrow G/H\times H$ definido por $h(z)=(\pi(z), (\sigma(\pi(z))^{-1}z)$ y muestre que $f$ es la inversa de $h$ .

Answer 2

Si tomamos $H=\mathbb{Z}$ en $G=(\mathbb{R},+)$ entonces $G/{H} \simeq S^1$, el círculo unidad, y $\mathbb{R} \not \simeq S^1 \times \mathbb{Z}$, para la conexión razones...

En cuanto a su pregunta con una sección continua, este papel parece relevante (aunque es sólo para Abelian topológicos, grupos).