El isomorfismo de grupo$h:(\mathbb R,+)\to (\mathbb R^+,\times)$ no es una función exponencial.

Question

Deje $\mathbb{R}^+$ denota el conjunto de los números reales positivos. Grupo de isomorfismo $h_b:(\mathbb R,+)\to (\mathbb R^+,\times)$ puede ser dado por la función exponencial: $h_b(r)=b^r$, donde $b$ es un número real positivo y no es $1$. Por otra parte, después de definir el grupo de automorphism $A_x:(\mathbb R^+,\times)\to (\mathbb R,+)(r\mapsto xr)$, el conjunto de todas las funciones exponenciales(con un resultado positivo de base) están relacionados por $h_k(r) = h_bA_rh_b^{-1}(k)$, $A_r$ el automorphism definido anteriormente.

Empiezo a preguntarme que es este el único camino posible para construir el isomorfismo? Hay isomorphisms $i:(\mathbb R,+)\to (\mathbb R^+,\times)$ diferente de la función exponencial?(No tiene que ser continua), Pero lo que sobre el caso si estamos buscando una continua isomorfismo?

Answer 1

En primer lugar vamos a construir un isomorfismo $(\mathbb R,+)\to(\mathbb R^+,\times)$ , que no es una exponencial. Deje $V$ ser $\mathbb R$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb Q$ y deje $\{v_\alpha\in\mathbb R : \alpha\in A\}$ ser una base para $V$. A continuación, cualquier permutación $\sigma$ de $A$ induce lineal operador $T=T_\sigma$ a $V,$ e lo $T:(\mathbb R,+)\to(\mathbb R,+)$ es un grupo de isomorfismo. $T$ no es continua en (a menos $\sigma$ es la identidad), y por lo $\exp\circ T:(\mathbb R,+)\to(\mathbb R^+,\times)$ es un isomorfismo, que no es continua, por lo tanto no es una exponencial.

Ahora supongamos que $\phi:(\mathbb R,+)\to(\mathbb R^+,\times)$ es un continuo grupo de isomorfismo. Escribir $b=\phi(1).$ Entonces $\phi(-1)=b^{-1}$ e inducción da $\phi(k)=b^k$ para todos los $k\in \mathbb Z.$ Además, para $p/q\in\mathbb Q,$ tenemos $$b^p = \phi(p) = \phi((p/q)\cdot q) = \phi(p/q)^q,$$ de modo que $\phi(p/q)=b^{p/q}.$ a continuación, utilizamos la continuidad extender $\phi$ a los reales, dando a ese $\phi(x)=b^x$ para todos los $x,$ lo $\phi$ es una exponencial con base $b.$

Answer 2

Deje que $\beta = \{b_{\lambda} \in \mathbb{R} \mid \lambda \in \Lambda\}$ sea una base $\mathbb{Q}$ para $\mathbb{R}$ y deje que $\phi \colon \beta \to \beta$ sea una permutación de $\beta$ . Luego, $\phi$ induce un isomorfismo de grupo $h_\phi\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ por extensión lineal. La composición $\exp \circ h_\beta$ es también un isomorfismo grupal.