Congruencia sobre los números de Fibonacci

Question

Dejemos que $$ F_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right] $$ sea un número de Fibonacci. Si $p\neq 2, 5$ es un primo, entonces quiero demostrar que $$ F_{p} \equiv \left( \frac{p}{5}\right) \mathrm{mod }\,p , $$ donde $\left( \frac{p}{5}\right)$ se entiende como un símbolo de Legendre.

Mi solución es la siguiente: Acabo de ampliar $F_{n}$ utilizando el teorema del binomio y obtenemos $$ F_{p} \equiv 2^{p-1}F_{p} \equiv \binom{p}{1} + \binom{p}{3}\cdot 5 + \cdots + 5^{(p-1)/2} \equiv 5^{(p-1)/2} \equiv \left( \frac{5}{p} \right) \equiv \left( \frac{p}{5}\right) \mathrm{mod}\,p $$ Aquí he utilizado la reciprocidad cuadrática en la última igualdad. Quiero saber si hay alguna prueba alternativa que no utilice la reciprocidad cuadrática y muestre la congruencia directamente.

Answer 1

Sólo estoy desenrollando la prueba de reciprocidad cuadrática usando campos ciclotómicos.

Dejemos que $\zeta$ sea una primitiva $5$ -raíz de la unidad, que es una raíz del polinomio $1+x+x^2+x^3+x^4$ . Los números de Fibonacci satisfacen $$ F_n = \left(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\big(\zeta+\zeta^{-1}\big)\right)\bigg[\big(1+\zeta+\zeta^{4}\big)^n-\big(1+\zeta^2+\zeta^3\big)^n\bigg], $$ que es fácil de demostrar por inducción. Escribiré $\equiv_p$ para la congruencia módulo $p$ . Utilizando la identidad $(x+y)^p\equiv_p x^p+y^p$ encontramos $$ F_p\equiv_p \left(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\big(\zeta+\zeta^{-1}\big)\right)\bigg[\zeta^p+\zeta^{4p}-\zeta^{2p}-\zeta^{3p}\bigg]. $$ Desde $\zeta^5=1$ El valor de $\zeta^{k}$ depende únicamente del residuo de $k$ mod $5$ . Si $p\equiv 1$ , $4$ mod $5$ entonces $$ F_p\equiv_p \left(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\big(\zeta+\zeta^{-1}\big)\right)\bigg[\zeta+\zeta^{4}-\zeta^{2}-\zeta^{3}\bigg]= F_1= 1, $$ mientras que si $p\equiv 2$ , $3$ mod $5$ entonces $$ F_p\equiv_p \left(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\big(\zeta+\zeta^{-1}\big)\right)\bigg[\zeta^2+\zeta^{3}-\zeta-\zeta^{4}\bigg]= -F_1= -1. $$