¿Hay infinitos casos en los que$n$ - th primo divide la suma de los primeros$n+1$ primos? (p.ej, $7\mid2+3+5+7+11$)

Question

$2+3+5+7+11+13+\cdots$ es claramente la suma de los números primos.

Ahora, considero sumas parciales tales como:

$2+3+5+7+11=28$ que es divisible por $7$

Mi pregunta es:

¿Hay infinitas sumas parciales tales que: $$p_1+p_2+p_3+\cdots+p_{k}+p_{k+1}=m\cdot p_{k}$$ with $ m $ algún entero positivo?

Answer 1

Esta parece ser una pregunta difícil. Voy a escribir de otro modo creo que podría ser útil para, al menos, muestran que el problema podría ser demasiado duro:

Deje $S_n = p_1 + p_2 + \ldots + p_{n-1} + p_{n+1}$ ser la suma de los primeros a$n+1$ primos donde el primer $p_n$ es eliminado.

Deje $U(\mathbb{Z}/p_n)$ el grupo de unidades del modulo $p_n$, por lo tanto, no existe $\phi(p_n-1)$ generadores (de raíces primitivas) en $U$ (para abreviar).

La expresión $\forall p\in S: \exists !d\in\mathbb{N}_{>0} (g^{d} = p\in U)$ está satisfecho con cualquiera de los generadores $g$, luego

$$ S_n\equiv g^{d_1}+ \ldots + g^{d_{n-1}} + g^{d_{n+1}}\pmod{p_n} $$

Desde $d_1\not=\cdots\not=d_{n-1}\not=d_{n+1}$, ordenamos y, a continuación, escribir

$$ P(x) = x^{e_n}+ \ldots + x^{e_1}\equiv 0\pmod{p_n} $$

para determinar cuántos congruencias como la anterior no existe.

Observe que el más alto grado $e_n < p_n$ , por definición, y para cada una de las $g_i$ ahí, en una serie única $\{e_1^i,\ldots, e_n^i\}$, por lo tanto no se $\phi(p_n-1)$ polinomios para cada uno de los prime $p_n$ a estudio.

Vamos a poner a$P(x)_i = x^{e_n^i}+ \ldots + x^{e_1^i}$, y ahora la pregunta es: ¿cuántos de los números primos $p_n$ existe tal que para cada una de las $P(x)_i$ relacionados $p_n$ siempre tenemos $g_i$ como una raíz. Por si una sola de las $g_i$ falla, a continuación, $P(x)_i\equiv 0\pmod{p_n}$ es falso.

RESUMEN: hemos estado en que $S_n\equiv 0\pmod{p_n}$ sostiene. Transformamos $S_n$ a un equivalente polinomio que debe tener el correlaciona generador como una raíz. Desde allí se $\phi(p_n-1)$ generadores, hay $\phi(p_n-1)$ polinomios para cada una de las $p_n$. TODOS ellos necesitan tener el correspondiente generador como una raíz como por el de la construcción. Si una sola falla, a continuación, $S_n\equiv 0\pmod{p_n}$ es falso.

Esta es una vía para demostrar que existen infinitos $p_n$ de tal manera que cada uno de ellos tiene todos los generadores en $\{p_1 + p_2 + \ldots + p_{n-1} + p_{n+1}\}$, lo que creo que es muy duro.