Ayuda con la Doble Integral Aparentemente Desesperada

Question

Odio ser ese tipo que simplemente publica un problema de integración y pregunta cómo resolverlo, así que daré un poco de información relevante

Bien, estoy trabajando en un proyecto de física y mi profesor propuso que la siguiente doble integral podría resolver potencialmente un problema que he utilizado un método alternativo para resolver:

$$I=\int_0^\pi\int_0^\rho\frac{t^2\sin\phi\left(t\cos\phi-d\right)}{\left[t^2\sin^2\phi+\left(t\cos\phi-d\right)^2\right]^{3/2}}\;dt d\phi$$

1. $\rho$ es una constante real arbitraria y estrictamente positiva
2. $d$ es una constante real que satisface $d>\rho$

El valor de esta integral podría proporcionar una inmensa comprensión en los campos de objetos esféricos sólidos uniformes, por lo que es bastante importante para mi trabajo.

Después de algunos intentos rápidos de simplificar, decidí probar algunas calculadoras de integrales con valores establecidos. No hace falta decir que el resultado después de la primera integral parecía tan desesperanzador que no podía imaginar simplificar e integrar de nuevo, y mucho menos generalizando las entradas constantes a su forma original de variables.

Sin embargo, hay una fuerte probabilidad de que $I$ se simplifique a una de las dos soluciones siguientes:

$$\text{1.Esta solución proviene de leyes inversas cuadráticas}$$

$$I=\frac{1}{d^2}$$

$$\text{2. Esta solución proviene de un cálculo separado que hice (integrales a continuación)}$$

$$I=\left(1-\frac{\rho^2}{5d^2}\right)\left[\frac{3}{2\rho^2}+\frac{3(\rho^2-d^2)}{4d\rho^3}\ln\left(\frac{d+\rho}{d-\rho}\right)\right]$$

Aunque parecen respuestas muy diferentes, dado que $\rho=1$ y $d=10$, se obtienen las siguientes salidas de $(1)$ y $(2)$:

$$1.\; I=0.01$$ $$2.\; I\approx 0.01000046$$

Esta es la proporción de la solución (2) sobre (1) para $\rho\in(0,1),\;d\in(0,50)$

Intenté abordar este problema de manera diferente a mi profesor, y establecí las siguientes integrales para resolver el problema que condujeron a la solución $(2)$:

$$\frac{9}{4\rho^6}\left[\;\int\limits_{d-\rho}^{d+\rho}x\left[x-\frac{x^2+d^2-\rho^2}{2d}\right]\left[\frac{(x+d)^2-\rho^2}{4d\cdot x}\right]\;dx\right]\cdot\left[\;\int\limits_{d-\rho}^{d+\rho}\frac{\rho^2-(x-d)^2}{2d\cdot x}\;dx\right]$$

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Donde entras tú

Si la doble integral está correctamente compuesta (con lo cual mi profesor se siente seguro), necesito a alguien experto en integración para resolver dicha doble integral. He dado dos posibles soluciones y es probable que la respuesta sea una de esas. Si es la solución $(1)$, sé que habrá un error en la mía y esencialmente habrás demostrado la ley inversa cuadrática para los campos gravitacionales y eléctricos. Si es la solución $(2)$, entonces esto será mucho más emocionante para mí pero menos probable. Si no es ninguna de las dos, entonces hay varias posibles implicaciones

RECOMPENSA

Estoy dispuesto a otorgar las siguientes recompensas por resolver la doble integral al principio. Dado que ciertas soluciones tienen implicaciones más fuertes (como se explicó anteriormente), estoy recompensando las siguientes recompensas:

1. +200 rep si verificas la solución $(1)$
2. +500 rep si verificas la solución $(2)$
3. +75 rep por cualquier otra solución (nota que tendrán que ser verificadas por un segundo usuario primero)

PREGUNTAS

Si tienes alguna pregunta adicional, ¡siéntete libre de preguntar y gracias por leer todo esto!

Answer 1

Como matemático, yo dividiría por fuerza el numerador y el denominador por $d^3$, sustituiría $t/d$ por algo, reduciendo así al caso $d=1$. Pero aquí, dejémoslo así, conservamos el entorno homogéneo como control de los cálculos.

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Dividimos el numerador, calculamos primero $$ \begin{aligned} J_1 &= \int_0^\rho dt \int_0^\pi \frac {t^2\sin\phi\cdot t\cos\phi} {\left[t^2\sin^2\phi+\left(t\cos\phi-D\right)^2\right]^{3/2}}\; d\phi \\ &= \int_0^\rho dt \int_0^\pi \frac {t^2(-\cos\phi)'\cdot t\cos\phi} {\left[t^2-2Dt\cos\phi+D^2\right]^{3/2}}\; d\phi \\ &\qquad\text{ Sustitución: }u=\cos \phi\ , \\ &= \int_0^\rho dt \int_{-1}^1 \frac {t^3\; u} {\left[t^2-2Dt\;u+D^2\right]^{3/2}}\; du \\ &\qquad\text{ Sustitución (para $u$, fijo $t$) de la raíz }v=\sqrt{t^2-2Dt\;u+D^2}\ , \\ &\qquad u=\frac 1{2Dt}(t^2+D^2-v^2)\ ,\ du=-\frac v{Dt}\; dv\\ , \\ &= - \int_0^\rho dt \int_{\sqrt{t^2+2Dt+D^2}}^{\sqrt{t^2-2Dt+D^2}} \frac {t^3\; \frac 1{2Dt}(t^2+D^2-v^2)} {v^3}\; \frac v{Dt}\; dv \\ &= \int_0^\rho t\;dt \int_{D-t}^{D+t} \frac 1{2D^2} \cdot \frac {t^2+D^2-v^2} {v^2}\; dv \\ &= \int_0^\rho t\;dt \;\frac 1{2D^2} \left[ -(t^2+D^2)\frac 1v -1 \right]_{v=D-t}^{v=D+t} \\ &= \int_0^\rho dt \;\frac t{2D^2} \left[ (t^2+D^2)\left(\frac 1{D-t}-\frac 1{D+t}\right) - 2t \right] \\ &= \int_0^\rho dt \left[ \frac D{D+t} +\frac D{D-t} -2\frac{D^2+t^2}{D^2} \right] \\ &= D\ln\frac {D+t}{D-t} - 2\rho\left(1+\frac {\rho^2}{3D^2}\right) \ . \end{aligned} $$ Verificación por computadora para $D=2$, $\rho=1$ (código pari/gp):

? D=2; r=1;
? intnum(t=0,r, intnum(s=0, Pi, t^2*sin(s)*t*cos(s) / (t^2-2*t*D*cos(s)+D^2)^(3/2) ) )
%19 = 0.030557910669552716123823807178384744388
? D*log( (D+r)/(D-r) ) - 2*r*(1+r^2/3/D^2)
%20 = 0.030557910669552716123823807178384742634
? 
? D=223; r=101;
? intnum(t=0,r, intnum(s=0, Pi, t^2*sin(s)*t*cos(s) / (t^2-2*t*D*cos(s)+D^2)^(3/2) ) )
%22 = 1.9969022076015148346071622544965636670
? D*log( (D+r)/(D-r) ) - 2*r*(1+r^2/3/D^2)
%23 = 1.9969022076015148346071622544965636629

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La otra integral. Integraré primero aquí respecto a $t$.

$$ \begin{aligned} J_2 &= -D \int_0^\pi d\phi \int_0^\rho \frac {t^2} {\left[(t-D\cos\phi)^2+D\sin^2\phi\right]^{3/2}} \; dt \\ &\qquad\text{ y consideramos separadamente (sin el factor $-D$)} \\ J_2(\phi) &= \int_0^\rho \frac {t^2} {\left[(t-D\cos\phi)^2+D\sin^2\phi\right]^{3/2}} \; dt \\ &= \int_{0-D\cos\phi}^{\rho-D\cos\phi} \frac {(u+D\cos\phi)^2} {(u^2+a^2)^{3/2}} \; du\ ,\qquad a:= D\sin\phi \ . \\ &\qquad \text{ Ahora los integrales se pueden calcular} \\ \int \frac{u^2} {(u^2+a^2)^{3/2}} \; dt &= -\frac t{(u^2+a^2)^{1/2}}+\operatorname{arcsinh} \frac ta+C\ , \\ \int \frac{u} {(u^2+a^2)^{3/2}} \; dt &= -\frac 1{(u^2+a^2)^{1/2}}+C\ , \\ \int \frac{1} {(u^2+a^2)^{3/2}} \; dt &= -\frac {a^2\;u}{(u^2+a^2)^{1/2}}+C\ , \end{aligned} $$ y el cálculo continúa. Si mis cálculos están bien, entonces $$ \begin{aligned} J_2(\phi) &= \int_0^\pi d\phi\; \Bigg[ \operatorname{arcsinh} \frac{t-D\cos \phi}{D\sin\phi} \\&\qquad\qquad\qquad+ \frac{t-D\cos\phi}{(t^2-2Dt\cos\phi+D^2)^{1/2}\sin^2\phi} \\&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\frac2{(t^2-2Dt\cos\phi+D^2)^{1/2}} \Bigg]_0^\rho\ . \end{aligned} $$ Tengo que presentar esto, espero que sea útil para verificar con los propios cálculos. Volveré, pero escribir lleva mucho tiempo.

Answer 2

Pista:

Con el cambio de variable $u=\cos\phi$, la integral en $\phi$ se convierte en

$$\int_{-1}^1\frac{t^2(tu-d)}{\sqrt{(u-dt)^2+d^2(1-t^2)}}du.$$

Al descomponer el numerador, obtendrás un término

$$c(t)\log((u-dt)^2+d^2(1-t^2))$$

y otro

$$c'(t)\arctan\frac{u-dt}{d\sqrt{1-t^2}}.$$

Estos términos no se simplifican en los límites del intervalo de integración.

La integral en $t$ (cúbica en $t$ en el denominador) es peor. No soy optimista sobre la existencia de una forma cerrada.

Answer 3

\begin{align*} &\iint \frac{t^2 \sin(\phi) (t \cos(\phi) - d)}{(t^2 \sin^2(\phi) + (t \cos(\phi) - d)^2)^{3/2}} \,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}\phi \\ &= \frac{\sqrt{d^2 + t^2 - 2 d t \cos(\phi)}(d^2 - 2 t^2 - 2 d t \cos(\phi) - 3 d^2 \cos(2 \phi))}{6d^2} \\ &+ d \cos(\phi) \ln\left(t - d \cos(\phi) + \sqrt{d^2 + t^2 - 2 d t \cos(\phi)}\right) \sin^2(\phi) \text{,} \end{align*} como fácilmente se puede verificar. Luego $I = \frac{-2 \rho^3}{3 d^2}$.

Creo que para tu caso $1$, te refieres a $I \propto \frac{1}{d^2}$. La integral no puede ser positiva porque:

• $t^2 \geq 0$ y
• $\sin(\phi) \geq 0$ ya que $\phi \in [0,\pi]$, pero
• $t \cos(\phi) - d < 0$ porque $0 < t < \rho < d$, mientras
• el denominador es $\geq 0$, entonces
• el integrando es (cero o) negativo en todas partes.

Answer 4

Tengo que decir que la solución de I se parece a (1), es:

$$I=-\frac{2 \rho ^3}{3 d^2}$$

Integré la integral para varios valores de $\rho$ y $d$ numéricamente y verifiqué que este resultado es correcto.

Para el cálculo solo necesitas la sustitución de @Yves ¡no es tan difícil! - con la ayuda de Mathematica:

Primero debes hacer la integración sobre t, la antiderivada es simplemente:

$\int \frac{t^{2}\text{Sin}[\phi ](t\text{Cos}[\phi ]-d)}{\left( t^{2}\ \text{ Sin}[\phi ]^{2}+(t\text{Cos}[\phi ]-d)^{2}\right) ^{3/2}}dt$

$=\frac{\left( 2\left( \rho ^{2}+3\varrho ^{2}\right) \text{Cos }[\phi ]+\varrho \left( -4\rho +\sqrt{\rho ^{2}+\varrho ^{2}-2\rho \varrho \text{Cos}[\phi ]}\,\text{Log}\left[ \rho -\varrho \text{Cos}[\phi ]+\sqrt{ \rho ^{2}+\varrho ^{2}-2\rho \varrho \text{Cos}[\phi ]}\right] +\text{Cos} [2\phi ]\left( -6\rho +3\sqrt{\rho ^{2}+\varrho ^{2}-2\rho \varrho \, \text{Cos} [\phi ]}\,\text{Log}\left[ \rho -\varrho \text{Cos}[\phi ]+\sqrt{\rho ^{2} +\varrho ^{2}-2\rho \varrho \text{Cos}[\phi ]}\right] \right) \right) \right) \,\text{Sin}[\phi ]}{2\sqrt{\rho ^{2}+\varrho ^{2}-2\rho \varrho \text{ Cos}[\phi ]}}$

Segundo, haces la sustitución:

$$y=\text{Cos}[\phi ]$$ y la simplificación:

$$\text{Cos}[2 \phi ]=\text{Cos}^{2}[\phi ]-\text{Sin}^{2}[\phi ]$$

llegando a:

$$I=\int_{1}^{-1}\left[ \frac{-t \varrho +6y^{2} t\varrho -y\left( t^{2}+3\ \varrho ^{2}\right) +\left( 1-3y^{2}\right) \varrho \,\sqrt{t^{2}-2 \,y \,t \varrho +\varrho ^{2}}\,\text{Log}\left[ t -y\,\varrho +\sqrt{ t^{2}-2\,y\, t\, \varrho \ +\varrho ^{2}}\right] }{\sqrt{t^{2}-2\,y\, t \varrho +\varrho ^{2}}}\right] _{0}^{\rho }dy$$

Incluso Mathematica encuentra la antiderivada de esa función, supongo que también se puede encontrar en una tabla de integrales. Luego la expresión se puede simplificar de tal manera que se obtenga el resultado indicado.