Demostrar que el siguiente de la serie es convergente.

Question

Considerar la serie cuyo término general es como sigue: $$u_n=\frac{a_n}{(S_n)^\lambda}$$ con la condición de $S_n = \sum_{k=1}^{n}a_k$ con las restricciones de que $0\leq a_n\leq 1,$ $S_n$ es una divergente la serie y $\lambda >1.$ Mostrar que la serie es convergente.

Necesito encontrar un límite inferior para $S_n$ , de modo que puedo encontrar una cota superior para $u_n.$ traté de usar el hecho de que $S_n$ es divergente de la siguiente manera:

Para $n$ lo suficientemente grande podemos decir que $S_n>N$ donde $N>1$ , pero esto le da a la enlazado $$u_n<\frac{1}{N^\lambda}$$ que no es útil, ya que vamos a resumir términos constantes infinitas veces. Consejos/sugerencias se agradece mucho.

Answer 1

Tenga en cuenta que con $\lambda > 1$ no es un número entero $m$ tal que $\frac{1}{m} < \lambda - 1$ e de $n > 1$

$$\tag{*}\frac{a_n}{S_n^\lambda} \leqslant \frac{a_n}{S_n S_{n-1}^{\lambda-1}} \leqslant \frac{S_n - S_{n-1}}{S_n S_{n-1}^{1/m}} = \frac{1- \frac{S_{n-1}}{S_n}}{1- \frac{S_{n-1}^{1/m}}{S_n^{1/m}}}\left(\frac{1}{S_{n-1}^{1/m}} - \frac{1}{S_n^{1/m}} \right) \\ \leqslant m\left(\frac{1}{S_{n-1}^{1/m}} - \frac{1}{S_n^{1/m}} \right)$$

La suma de los términos en el lado derecho de (*) es telescópica y converge desde $1/S_n \to 0$:

$$\sum_{n=2}^\infty m\left(\frac{1}{S_{n-1}^{1/m}} - \frac{1}{S_n^{1/m}} \right) = \frac{m}{S_1^{1/m}} $$

Por la prueba de comparación $\sum a_n/S_n^\lambda $ converge.

Vea si usted puede probar que el extremo derecho de la desigualdad en (*), que es

$$\frac{1- \frac{S_{n-1}}{S_n}}{1- \frac{S_{n-1}^{1/m}}{S_n^{1/m}}} \leqslant m$$