$E \subset [0,2\pi]$ tiene una medida positiva, para cualquier secuencia$t_n$ de números reales,$\lim_{n \to \infty} \int_E \cos(n x + t_n)\,dx = 0?$

Question

Supongamos que$E \subset [0, 2\pi]$ tiene una medida positiva. Para cualquier secuencia$t_n$ de números reales, tenemos$$\lim_{n \to \infty} \int_E \cos(n x + t_n)\,dx = 0?$ $

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\cos(nx+ t_n) = \cos (nx) \cos t_n -\sin(nx)\sin t_n,$ $ so

PS

Como

$$\int_E \cos(nx+t_n)dx = \cos t_n \int_ E \cos(nx) dx -\sin t_n \int_E \sin (nx) dx.$ $ y$$\int_E \cos(nx) dx , \int_E \sin(nx) dx \to 0$ están delimitados, también tenemos

PS

Answer 2

Estamos buscando las partes reales de

$$\tag 1\int_E e^{i(nx+t_n)}\,dx = e^{it_n}\int_E e^{inx}\,dx.$$

Por la de Riemann-Lebesgue lema, el de las integrales de la derecha $\to 0$ $n\to \infty.$ Desde $|e^{it_n}| = 1$ para todos los $n,$ $(1)\to 0,$ por lo tanto para hacer sus piezas reales.