Cómo muestra el gradiente de una función la mayor pendiente de una función $f(x,y,z)$ ?

Question

$$\nabla f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$

$\nabla$ es el operador de gradiente. $(\nabla f).\mathbf{r}$ es la tasa de cambio de $f$ en el $\mathbf{r}$ dirección.

Tengo que demostrar que un múltiplo escalar de $\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}$ es la tasa de cambio más rápida de $f$ en cualquier punto.

Dejemos que $r$ sea el vector unitario $(a,b,c)$ . $$a^2+b^2+c^2=1$$

$(\nabla f).\mathbf{r}=a.\frac{\partial f}{\partial x}+b\frac{\partial f}{\partial y}+c\frac{\partial f}{\partial z}$

¿Cómo sabemos que esto se maximiza cuando $a=b=c$ ?

Answer 1

Recordemos que $$\nabla f(x)\cdot v=f'(x;v)$$ donde este último término es la derivada direccional de $f$ en $x$ con dirección $v$ . Si no puede verlo directamente, considere la función $$g(t)=f(x+tv)$$ y diferenciar en $t=0$ utilizando la definición habitual de derivada, y luego la regla de la cadena. Esto le da la "tasa de cambio más rápida de $f$ en cualquier punto" idea. Lo que hay que mirar es $$F(v)=\langle \nabla f(x),v\rangle$$ bajo la restricción $\lVert v\rVert =1$ . Informalmente, se suele decir $$\langle \nabla f(x),v\rangle=\lVert \nabla f(x)\rVert \cos\theta$$

y como $-1\leq \cos\theta\leq 1$ Esto se hace más grande cuando $\theta=0$ es decir $v$ es $\nabla f(x)$ pero normalizado. Más formalmente, sabemos por Cauchy Schwarz que $$\langle \nabla f(x),v\rangle\leq \lVert \nabla f(x)\rVert$$

y la igualdad se alcanza si $v$ es un múltiplo (positivo) de $\nabla f(x)$ . Por lo tanto, la restricción $\lVert v\rVert =1$ fuerzas $$v=\frac{\nabla f(x)}{\lVert \nabla f(x)\rVert}$$