Distribución normal estándar en un subespacio

Question

Sea $U \subset \mathbb{R}^n$ sea un espacio vectorial con $\dim(U)=d$ . Una distribución normal estándar en $U$ es la ley de un vector aleatorio $X=(X_1, \ldots, X_n)$ tomando valores en $U$ y tales que las coordenadas de $X$ en una ( $\iff$ en cualquier) base ortonormal de $U$ es un vector aleatorio formado por $d$ distribuciones normales estándar independientes ${\cal N}(0, 1)$ .

Al leer esta pregunta Me hice la siguiente pregunta. Dejemos que $Y=(Y_1, \ldots, Y_n)$ sea una distribución normal estándar en $\mathbb{R}^n$ . ¿Es cierto que la distribución condicional de $Y$ dado $Y \in U$ es la distribución normal estándar en $U$ ?

La norma al cuadrado ${\Vert X \Vert}^2$ de $X$ tiene una distribución chi-cuadrado $\chi^2_d$ . Por lo tanto, si esto es cierto, eso explicaría la afirmación de @Argha.

Lo siento si el LaTeX está mal escrito, no veo el renderizado LaTeX :(

EDITAR 01/10/2012: Ya veo. Escribe $y=u+v$ la descomposición ortogonal de $y$ en $U\oplus U^\perp$ . Entonces $$\Pr(Y\in \mathrm{d}y \cap Y \in U)=\Pr(P_U Y \in \mathrm{d}u)$$ . Eso demuestra que $(Y \mid Y \in U) \sim P_U Y$ . Esto es un poco heurístico pero moralmente correcto. Por último, de la definición se desprende que $P_U Y$ es normal estándar en $U$ .

Answer 1

Sí. Usted tiene que $U$ es un subespacio de $\mathbb R^n$ . Sea $Y \sim \text{N}(0,I)$ y $P$ sea la matriz de proyección ortogonal sobre $U$ de modo que $P$ es simétrica e idempotente. Entonces $PY \sim \text{N}(P0,PIP^T) = \text{N}(0,P)$ . Se trata de una distribución normal singular, que en el subespacio $U$ es la normal estándar en ese subespacio. Como distribución singular, no tiene densidad con respecto a la medida del volumen en $\mathbb R^n$ pero tiene una densidad con respecto a la medida de volumen (de menor dimensión) en $U$ .