¿Puedo suponer que$R$ es un anillo local?

Question

Debería probar esta afirmación:

Sea$R$ un anillo,$M$ sea un$R$ - módulo y$P$ un proyectivo$R$ - módulo de tipo finito. Si$x=\sum_i m_i\otimes p_i$ es un elemento en$M\otimes_R P$ tal que$\sum_i m_i\phi(p_i)=0 \quad \forall\phi\in P^*$, entonces$x=0$.

Bueno, lo he demostrado en el caso$R$ es un anillo local. ¿Puedo suponer que$R$ es un anillo local sin pérdida de generalidad?

Answer 1

La afirmación es verdadera Para algunos finitely generadas $R$- módulo de $Q$$P \oplus Q \simeq R^n$. A partir de este deducir: a) que hay un inyectiva de morfismos de $R$-módulos de $M\otimes P \to M\otimes R^n $, y b) que cada forma lineal en $P$ es la restricción de una en $R^n$. Ya que el resultado es cierto para $M\otimes R^n $ debido a la isomorfismo $M\otimes R^n\simeq M^n$, también es cierto para el original $M\otimes P$ mediante el uso de a) y b).

Tu pregunta Ya que el resultado es cierto que es imposible decir que no pueda ser demostrado por la reducción para el caso de que $R$ un anillo local. En caso de que se $P$ será libre y tengo la sospecha de que vas a tener que hacer algo parecido a la anterior. Además vas a tener que revisar uno o dos pequeños hechos para asegurarse de que usted puede ir y venir entre el mundial de caso y el caso local, en particular, que su hipótesis sobre el comportamiento lineal de las formas en $P^\ast$ puede ser localizada. En lo personal, yo no iría por la reducción de los locales de los anillos desde el caso general es tan simple.