Suma de la serie infinita.

Question

La serie es$$\frac{5}{1.2}.\frac{1}{3}+\frac{7}{2.3}.\frac{1}{3^2}+\frac{9}{3.4}.\frac{1}{3^3}+\frac{11}{4.5}.\frac{1}{3^4}+...$ $ Este es mi intento:$$T_n=\frac{2n+3}{n(n+1)}.\frac{1}{3^n}$ $ Suponiendo que$$\frac{2n+3}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}$ $ encontramos$A=3,B=-1.$ Poniendo estos valores en$T_n$ obtenemos,$$T_n=\frac{1}{n}.\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{1}{n+1}.\frac{1}{3^{n}}$ $ ¿Cómo puedo encontrar la suma de las series de aquí?$?$

Answer 1

Solo intente escribir la expresión para$T_{n+1}$ y tenga en cuenta que la serie es un telescopio.

$$ T_n = \ frac {1} {n} \ cdot \ frac {1} {3 ^ {n-1}} - \ color {púrpura} {\ frac {1} {n +1} \ cdot \ frac { 1} {3 ^ {n}}} \\ T_ {n +1} = \ color {púrpura} {\ frac {1} {n +1} \ cdot \ frac {1} {3 ^ {n}}} - \ frac {1} {n +2} \ cdot \ frac {1} {3 ^ {n +1}} $$

Vemos que los términos se están cancelando, por lo que

$$ \begin{align} \sum_{i=1}^{n} T_i &= \frac{1}{1}\frac{1}{3^{0}} -\color{blue}{\frac{1}{2}\frac{1}{3^{1}}+\frac{1}{2}\frac{1}{3^{1}}}... -\color{red}{\frac{1}{n-1}\frac{1}{3^{n-2}}+\frac{1}{n-1}\frac{1}{3^{n-2}}} -\frac{1}{n}\frac{1}{3^{n-1}}\\ &= 1-\frac{1}{n3^{n-1}} \end {align} $$

Por lo tanto, como$n\to \infty$, vemos que la suma tiende a$1$.

Answer 2

$\sum_{i=1}^{n} T_i =S_n - R_n$ , dónde

$S_n := \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i}\dfrac{1}{3^{i-1}};$

$R_n :=\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i+1} \dfrac{1}{3^i}.$

Cambie el índice ficticio en$R_n:$

$k= i +1$, entonces

$R_n=\sum_{k=2}^{n+1} \dfrac{1}{k}\dfrac{1}{3^{k-1}} =$

$ (1 + \ sum_ {k = 2} ^ {n} \ dfrac {1} {k} \ dfrac {1} {3 ^ {k-1}}) -1 + \ dfrac {1} {n +1 } \ dfrac {1} {3 ^ n} $

$= S_n - 1 + \dfrac{1}{n+1}\dfrac{1}{3^n}.$

Por lo tanto:

$T_n = S_n - R_n= 1 - \dfrac{1}{ n+1}\dfrac{1}{3^n}.$

Answer 3

PS

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