He aquí un método algebraico que reduce el $n \geq 2$ de los casos a la $n=1$ de los casos, lo cual es relativamente fácil. Inútil bono: se puede reemplazar $\mathbb{R}$ con innumerables campo (para el adecuado nociones de "bola").
Para cada hyperplane en la colección, podemos tomar la única normal de la línea a través del origen. Tenemos un par de puntos en la unidad de hypersphere tomando la intersección de esta línea. Si recopilamos todos los puntos que surgen de la hyperplanes, las coordenadas de generar un campo de extensión de la $K$ $\mathbb{Q}$ que tiene en la mayoría de los countably infinita trascendencia de grado (y por lo tanto contables y no todos los de $\mathbb{R}$).
Elija un punto de $x$ en la unidad de hypersphere cuya primera $n-1$ coordenadas son algebraicamente independientes de $K$, y la de cada uno de los otros, y considerar la línea de $\ell$ pasando a través de $x$ y el origen. Cada hyperplane puede intersectar $\ell$ en más de un punto, ya que $x$ tiene un valor distinto de cero interior del producto con el vector normal de cualquier hyperplane en la colección.
