¿La serie$\sum_{k=1}^{\infty}(\sqrt[k]{k}-1)$ es divergente o convergente?

Question

Me parece que esta serie es un poco problemático. No puedo encontrar un método adecuado que funcione. La prueba de la raíz no parece ser útil. Ratiotest se puso feo. La prueba integral parece obligarme a integrar una función$x^{1/x},$ que no tiene ninguna primitiva elemental.

No puedo encontrar un límite apropiado para compararlo y hacer una comparación de prueba de límite.

Answer 1

Tenemos$$k^{1/k} -1= e^{\frac{\ln(k)}{k}}-1 >\frac{\ln(k)}{k},$ $, por lo que en comparación, la suma diverge.

Answer 2

Como$k \to \infty$, uno tiene $$ \ sqrt [k] {k} -1 = \ frac {\ ln k} k + O \ left (\ frac {\ ln ^ 2 k} {k ^ 2} \ derecha) $$ la serie dada es divergente, siendo la suma una serie divergente y una convergente.