Números complejos y la norma

Question

Me da que por un complejo número de $w=a+bi$, definir $\overline{w}=a-bi$$N(w)=w \overline{w}$. Me han proporcionado mis respuestas de las partes a y b, pero no estoy seguro de que son correctos. Necesito ayuda para averiguar la parte c.

(a) Calcular $N(w)=w \overline{w}$ explícitamente.

Esto es lo que he conseguido:$N(w)=w \overline{w}= (a+bi)(a-bi)= a^2+b^2$.

(b) Mostrar que el $N(rs)=N(r)N(s)$ para cualquiera de los dos números complejos $r,s$.

Aquí está mi trabajo:

Deje $r=a+bi$, $s=c+di $

Entonces $$rs=(a+bi)(c+di)=ac+adi+icc-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i. $$

Ahora, a partir de una, tiene que $N(r)= a^2+b^2$$N(s)= c^2+d^2$. Así, $$N(r)N(s)=(a^2+b^2)(c^2+d^2). $$

También, $N(rs)=N((ac-bd)+(ad+cb)i) $ y de la parte a continuación, $N(rs)=(ac-bd)^2+(ad+cb)^2$

Cuando se expande,

$$a^2c^2-abcd-abcd+b^2d^2+a^2d^2+abcd+abcd+b^2c^2$$

\begin{align*} &=a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+b^2c^2\\ &=a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)\\ &=(a^2+b^2)(c^2+d^2). \end{align*}

Por lo tanto, $N(rs)=N(r)N(s)$.

(c) Probar que $N(\overline{v})=N(v) $ $N(v^n)=N(v)^n$ para cualquier número complejo.

Esta es la parte que estoy confundido en cuanto a cómo probar. Dejo $v=a+bi$$\overline{v}=a-bi$. Entonces no estoy seguro de cómo utilizar lo que te he mostrado antes para esta parte.

Answer 1

Para la primera parte de su pregunta, observe que$$N (v)=\bar{v} v=\bar{v} \bar{\bar{v}}=N (\bar{v}) $ $ porque$\bar{\bar{v}}=v$.

Para la segunda parte, considere realizar una inducción sobre$n $:

Base de inducción:$n=1$$$N (v^1)=N (v)=N (v)^1$ $

Paso de inducción:$$N (v^{n+1})=N (v^n\cdot v)=N (v^n) \cdot N (v)=N (v)^n \cdot N (v)=N (v)^{n+1} $ $ Para el tercer paso del último paso usamos el resultado de b, para el segundo de la última hipótesis utilizamos la hipótesis de la inducción.

Answer 2

Ya que tu pregunta es acerca de la parte $(c)$...

• Para demostrar $N(v)=N(\overline{v})$, el uso de la fórmula para $N$ $(a)$ en cada una de las $v$$\overline{v}$. Como se ha dicho, la pregunta es algo confusa, debido a $a$ $b$ se utiliza en dos formas en el problema. En la parte $(a)$, $N(v)=a^2+b^2$ al $v=a+bi$. Para la parte $(c)$, podríamos utilizar $w=c+di$$\overline{w}=c-di$, $N(w)=c^2+d^2$ (sustituyendo las variables en $w$ en el formulario de la parte $(a)$) y $N(\overline{w})=c^2+(-d)^2$ por la misma sustitución.

• Para demostrar $N(v^n)=N(v)^n$, el uso de su igualdad en parte $(b)$ así como la inducción en $n$. El caso base es $N(v^1)=N(v)^1$, y, a continuación, utilice parte de las $(b)$ a probar $N(v^{k+1})=N(v)^{k+1}$$N(v^k)=N(v)^k$.