¿Por qué la regla derivada$a^x = \ln(a)\cdot a^x$ falla para$e^{-x}$?

Question

En mi libro de texto hay una regla derivada que se indica a continuación:

PS

Pero cuando intento aplicar esta regla a$$f(x)=a^x \implies f'(x)=\ln(a) \cdot \ a^x$, obtengo:

PS

Lo cual no es correcto porque la derivada de$e^{-x}$ es$$\ln(e) \cdot \ e^{-x} = e^{-x}$.

¿Qué está mal aquí?

Answer 1

Esa regla se aplica a las funciones de la forma$a^x$. La función$e^{-x}$ no está en esa forma, porque tiene$-x$ en el exponente, no$x$.

Si lo desea, puede escribir$e^{-x}$ #% como% #% y luego tiene la forma$\left(\frac 1e\right)^x$, con$a^x$. Luego, si aplica la regla, obtiene$a=\frac 1e$ $ que es correcto.

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Otra cosa que podría hacer es considerar una generalización de la regla$$\frac{d}{dx}\left(\frac 1e\right)^x = \left(\ln \frac 1e \right)\cdot \left(\frac 1e\right)^x = -1\cdot \left(\frac 1e\right)^x = -e^{-x}$, que$a^x$$$\frac d{dx} a^{f(x)} = \color{darkred}{\frac{df}{dx}}\cdot \color{darkblue}{\ln a }\cdot a^{f(x)}$ a ^ x$ which follows by applying the chain rule to your rule for $ f (x) = -x$. Then taking $ a = e$ and $$ we obtain $ $

Answer 2

Lo que ha pasado por alto es que debería haber un signo menos porque el derivado de$-x$ es$-1$. La fórmula correcta es$$\frac{d}{dx}a^{f(x)}= \frac{d}{dx}e^{f(x)\ln a}=f'(x)(\ln a) e^{f(x)\ln a}= f'(x)(\ln a )a^{f(x)}$ $ Esto se deduce de la regla de la cadena.