Encontrar fórmula usando información de tangentline

Question

Soy nuevo en la SE, pero espero que ustedes me ayuden con esta duda que tengo. Estoy actualmente no es capaz de usar la $\LaTeX$ o nada agradable para configurar mi fórmulas, pero espero que tenga con que - al menos por ahora.

Tengo la siguiente información:

Una función de $f$ resuelve la ecuación diferencial

$\frac{dy}{dx} = 2x+5-y$

Y la línea con la ecuación de $y=1$ (me doy cuenta que los dos $y$'s así...) es una línea tangente a $f$.

Y mi pregunta es entonces:

¿Cómo puedo encontrar la fórmula para $f$ utilizando sólo esta información?

Lo que he hecho hasta el momento (básicamente sólo mediante separación de variables):

$\frac{dy}{dx} = 2x+5-y$

$\frac{dy}{y} = (2x+5)dx$

$\int(1/y)dy = \int(2x+5)dx$

$\ln(y) = x^2 + 5x + k$

$y=e^{x^2 + 5x + k}$

También me alegraría si usted podría comprobar si lo que he hecho es correcto, ya que yo en realidad no han aprendido de separación de variables, pero aún así...

Gracias de antemano

Answer 1

\begin{align} \frac{dy}{dx} &= 2x+5-y\\ y'+y&=2x+5 \end {align} Esta es una EDO lineal de primer orden :$y'+f(x)y=g(x)$. Tienes$f(x)=1$, entonces el factor de integración es \begin{align} e^{\int f(x)\ dx}=e^{\int \ dx}=e^{x+C}=Ae^x \end {align} donde$A=e^C$. Multiplica ambos lados de$y'+y=2x+5$ por el factor integrador. \begin{align} Ae^xy'+Ae^xy&=(2x+5)Ae^x\\ e^xy'+e^xy&=(2x+5)e^x\\ \frac{d}{dx}(e^xy)&=(2x+5)e^x\\ d(e^xy)&=(2x+5)e^x\,dx\\ \int d(e^xy)&=\int(2x+5)e^x\,dx\\ \end {align} Use la integración por partes para resolver la integral de RHS. Permitir que$u=2x+5$,$du=2\,dx$,$dv=e^x\,dx$ y$v=e^x$. \begin{align} \int d(e^xy)&=\int(2x+5)e^x\,dx\\ e^xy&=(2x+5)e^x-\int e^x\cdot2\,dx\\ e^xy&=(2x+5)e^x-2e^x+C\\ y&=2x+5-2+Ce^{-x}\\ &=2x+3+Ce^{-x}\\ \end{align}