Si$\| y_0^* \|^2 +\| y_1^* \|^2 = 1,$ existe$f\in C_0^1(X,E)$ tal que$y_0^*(f(x)) + y_1^*(f'(x))>1-\varepsilon?$

Question

Deje $X\subseteq\mathbb{R}$ ser un subconjunto abierto y $E$ ser un espacio de Banach.

Denotar $C_0^1(X,E)$ como el espacio de $E$valores de las funciones de $f$ $X$ tal que $f,f'$ son continuos, y $f$ desaparecer en el infinito. También, denotan $\text{supp }f=\overline{\{ x\in\mathbb{R}:f(x)\neq 0 \}}$

Pregunta: Revisión de dos lineal funcionales $y_0^*$ $y_1^*$ $E$ con $$\| y_0^* \|^2 +\| y_1^* \|^2 = 1.$$ Dado cualquier $\varepsilon>0,\delta>0$ $x\in X,$ ¿existe una función de $f\in C_0^1(X,E)$ tal que $$\sup_{z\in X}\sqrt{(\|f(z)\|^2+\|f'(z)\|^2)}=1, $$ $$\text{ supp} f \subseteq (x-\delta,x+\delta)$$ y $$y_0^*(f(x)) + y_1^*(f'(x))>1-\varepsilon?$$

Deje $y^*:=(y_0^*, y_1^*)$ ser una función de $y^*:E^2_{\ell^2}\to\mathbb{R}.$ Por supuesto, $\|y^*\|_{\ell^2}=1.$

Elija $y:=(y_0,y_1)\in E^2_{\ell^2}$ $\|y\|_{\ell^2}=1$ tal que $$y_0^*(y_0) + y_1^*(y_1)>1-\varepsilon.$$

Ahora, queda por construir una función $f\in C_0^1(X,E)$ de manera tal que su norma es $1,$ apoyado en $(x-\delta,x+\delta)$ $f(x)=y_0,f'(x)=y_1.$

Sin embargo, no tengo idea sobre cómo construir dicha función.

Answer 1

El comentario de Daniel Fischer ya nos da la respuesta. Una más precisa declaración es: Si usted fix$\delta>0$, entonces dicha función existe para cualquier $\epsilon>0$ si $\|y^*_0\|\leq \sin (\delta)$. En particular, esto sólo puede para cualquier $\delta>0$ si $y^*_0=0$.

Por simplicidad de notación asumen $x=0$.

La condición: $|f(z)|^2+|f'(z)|^2\leq 1$ implica: $|f'(z)|\leq \sqrt{1-|f(z)|^2}$. Desde $f(\pm \delta)=0$ sigue primero que $|f(z)|\leq \sin (\delta-|z|)$, $|z|\leq \delta$ y luego que $$ |y_0^* (f(z)) + y_1^* (f'(z)) | \leq |y_0^*| \sin (\delta-|z|) + |y_1^*| \cos(\delta-|z|) $$ Al $\|y_0^*\|>\sin(\delta)$ el lado derecho es uniformemente acotada por debajo de 1, lo que evita la construcción de una solución.

Por otro lado, cuando se $y_0^*=0$ usted puede construir soluciones mediante la selección de un vector unitario $y_1$ $y_1^*(y_1)=1$ $C^1$ función de $\phi:{\Bbb R}\rightarrow [0,1] $ con apoyo en $(-1,1)$$\phi'(0)=\sup|\phi'|=1$. Construir para $0<t<\delta$: $$f_t(z) = y_1 \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \phi(z/t)$$ Uno ha $\sup(\|f_t\|^2 + \|f'_t\|^2)=1$ y $t$ va a cero, $\sup_z\|f_t(z)\|\rightarrow 0$$f_t'(0)\rightarrow y_1$. Dado $\epsilon>0$ el resultado de la siguiente manera para $t$ lo suficientemente pequeño.