Sólo Puede Quedar

Question

Esta es mi segunda pregunta después de este post.

Los tres jugadores están jugando un juego. Todos ellos tienen pequeñas cantidades de dinero, vamos a decir: el jugador 1 ha $\$un$, player 2 has $\$b$, y el jugador 3 ha $\$c$, where $a<b<c$. La probabilidad de cada jugador gana cada turno del juego es $p$ para el jugador 1, $q$ para el jugador 2, $r$ para el jugador 3, y $s$ por tener dibujar, donde $p+q+r+s=1$. Los perdedores de la transferencia de un dólar ($\$1$) para el ganador de cada turno. El juego termina hasta que uno de los el jugador tiene todo el dinero. ¿Cuál es la probabilidad de que cada jugador que va a la quiebra? ¿Cuál es el número esperado de vueltas para que solo un jugador a la izquierda como el ganador?

Supongamos que juegan blackjack, si el jugador 1 obtiene 20 puntos, el jugador 2 recibe el 19 puntos, y el jugador 3 obtiene 18 puntos, entonces el ganador de la vuelta es el jugador 1, así que los otros dos jugadores deben pagar un dólar para el jugador 1. Si hay dos jugadores tienen, por ejemplo, 19 puntos y el otro jugador obtiene 18 puntos, a continuación, que su vez se considera empate. Si todos tienen 19 puntos, esto también se considera empate. Si un jugador pierde todo el dinero, entonces él va a dejar de jugar, y sólo dos, el jugador va a continuar el juego con una probabilidad de ganar de cada jugador es$x$$y$, también la probabilidad de que dibujar es $z$. Cada vez se repite hasta que un jugador tiene todo el dinero.

Para ser honesto, yo no puedo responder a esta pregunta y yo realmente no lo entiendo. Salí de mi hoja de respuestas totalmente vacío. (─‿‿─)

Por favor me ayude a contestar esta pregunta y proporcionar una explicación sencilla acerca de la respuesta que usted envíe. Cada respuesta será muy apreciada.

Answer 1

Para fijo, $p,q,r,s$, vamos a $f(a,b,c)$ denotar la probabilidad de que el jugador 1 es el primero en ir a la quiebra, dicen. Luego tenemos la recursividad $$f\tag1(a,b,c)=pf(a+2,b-1,c-1)+qf(a-1,b+2,c-1)+\\+rf(a-1,b-1,c+2)+sf(a,b,c) $$ y las condiciones de contorno $f(0,b,c)=1$, $f(a,0,c)=f(a,b,0)=0$ para $a,b,c>0$. También debemos agregar $f(a,0,0)=0$, $f(0,b,0)=f(0,0,c)=1$ para dar cuenta de la posibilidad de que dos jugadores tienen la quiebra juntos (mientras que $f(0,0,0)$ es indefinido). Tenga en cuenta que la misma pregunta para el jugador 2 y el jugador 3 resultados en el mismo recurson $(1)$, pero con diferentes condiciones de contorno. También tenga en cuenta que $(1) $ puede ser transformado a $$\tag2f(a,b,c)=p'f(a+2,b-1,c-1)+q'f(a-1,b+2,c-1)+r'f(a-1,b-1,c+2) $$ con $p'=\frac p{1-s}$ etc. (como se sugirió en los comentarios). Para valores concretos, es suficiente para el uso de $(2)$ subir desde el límite de los casos a los valores específicos, por ejemplo,$f(1,1,1)=q'+r'$$f(a,1,1)=0$$a>1$. Para el general (es decir, abstracto) de la solución, que re dreally ser útil para entender las cadenas de Markov, autovalores y esas cosas.

Answer 2

Para empezar, usted necesita para ser más específicos en los que la probabilidad de un empate. Es posible que los dos mejores jugadores de la corbata y la parte inferior del ranking jugador pierde, y también es posible que todos los $3$ jugadores empatan. Su empate probabilidad de no distinguir los diferentes casos, y sin embargo, estos diferentes casos afectará el resultado. Lo que tienes que decir cómo el dinero se divide cuando dos o más jugadores empatan, y también especificar cuál es la probabilidad de que un arbitrario par de dos jugadores empatan en la parte superior, y ¿cuál es la probabilidad de que los tres jugadores empatan en la parte superior. De lo contrario, el problema está mal planteado.