Sea $X$ un espacio de producto interior. Sea $E\subset X$ cerrado bajo la multiplicación escalar y $x \in X$. Entonces $x \perp E$ si y solo si $\operatorname{dist}(x,E)=||x||.
Puedo demostrar la parte directa pero no logro demostrar la parte inversa es decir $\operatorname{dist}(x,E)=||x|| \implies x \perp E$
¡Por favor proporciona algunas pistas!
Un conjunto que está cerrado bajo la multiplicación escalar es una unión de rectas que pasan por el origen. Así que consideremos una recta $L$ con vector de dirección $v.
Claramente, $\operatorname{dist}(x,L)\le \|x\|$ siempre se cumple.
Claim: $\operatorname{dist}(x,L)=\|x\|\iff \langle x,v\rangle =0$.
Prueba: consideremos el polinomio $p(t)=\|x-tv\|^2 = \|x\|^2-2t\langle x,v\rangle +t^2\|v\|^2$. Dado que $p(0)=\|x\|^2$, la única manera de que $p$ satisfaga $\min p = \|x\|^2$ es tener el mínimo en $x=0; es decir, tener el coeficiente de $x$ igual a cero. $\qquad\Box$
Para una unión general de rectas $E = \bigcup L_\alpha$ tenemos $$ \operatorname{dist}(x,E) = \inf_\alpha \operatorname{dist}(x,L_\alpha) $$ La única manera de que esto sea igual a $\|x\|$ es tener $\operatorname{dist}(x,L_\alpha)=\|x\|$ para todos los $\alpha$, lo cual, según lo anterior, es equivalente a que $x\perp L_\alpha$ para todos los $\alpha$.
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Prueba indirecta. Supongamos que hay un $e\in E$ con $\langle x,e\rangle \neq 0$, y demostrar que $\operatorname{dist}(x,E) < \lVert x\rVert$.
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No entiendo... Si $E$ es un cono, que está cerrado bajo multiplicación escalar, entonces $(\Rightarrow)$ no es verdadero.
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@JohnMa - No veo eso. Si $v\in E$, entonces $x\perp v \implies \langle x, v\rangle = 0$, por lo que $\langle x - v, x - v\rangle = \langle x,x\rangle + \langle v,v\rangle$. Por lo tanto $\operatorname{dist}(x, v) \ge \|x\|$, y dado que $0 \in E$, $\operatorname{dist}(x, E) = \|x\|$
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Lo siento, quiero decir la parte $\text{dist} (x, E) = \|x\|\Rightarrow x\perp E$. @PaulSinclair . Consideremos por ejemplo $E \subset\mathbb R^2$ que es el gráfico de $y =|x|$ y $x = (0,-1)$.
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Mi error fue pensar que estabas en desacuerdo con la implicación directa. Debería haber verificado tu contraejemplo contra la implicación inversa antes de comentar.
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@JohnMa El gráfico de $y=|x|$ no es cerrado bajo multiplicación escalar.
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@DanielFischer Suponiendo que $\langle x, e \rangle \neq 0$ para algún $e \in E$, ¿puedes dar un bosquejo de la prueba de que $\operatorname{dist}(x,E) < \lVert x\rVert$? Gracias.
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@Error404 Al igual que en la respuesta. Uno considera $d(t) = \lVert x - te\rVert^2 = \lVert x\rVert^2 - 2\operatorname{Re}\:(\overline{t}\langle x,e\rangle) + \lvert t\rvert^2\cdot \lVert e\rVert^2$. Si tenemos un espacio vectorial real, ignoramos el $\operatorname{Re}$. Si $\langle x,e\rangle \neq 0$, entonces para $t = - \varepsilon \langle x,e\rangle$ esto es menor que $\lVert x\rVert^2$ si $\varepsilon > 0$ es pequeño.