Sea $f$ sea una función de $x$ y $f'$ sea la derivada, en un punto $(x_0, f(x_0))$ la pendiente es $f'(x_0)$ sabemos por cualquier libro de cálculo que la recta $g(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ es tangente a la curva de $f$ , pero ¿cómo demostrarlo rigurosamente?
Respuestas
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La dificultad proviene de la definición de "tangente" en geometría euclidiana.
Una definición de "tangente" podría ser la "posición límite de la secante", y esta idea conduce inmediatamente a la recta $g(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ cuando $f$ es diferenciable en $x_0$ .
Pero se podría argumentar que la noción de "límite" está ausente en la geometría euclidiana (o afín). Para una tangente a una circunferencia o una elipse no hay problema, pero para una "curva general" se necesita una nueva idea. Cuando la curva $\gamma:\ y=f(x)$ en cuestión es convexa cerca del punto $(x_0,y_0)\in\gamma$ entonces la noción de línea de apoyo en $(x_0,y_0)$ tiene sentido: Esta es una línea $$\ell:\quad y=y_0+m(x-x_0)$$ con la propiedad de que $\ell$ tiene el punto $(x_0,y_0)$ en común con $\gamma$ y que $$y_0+m(x-x_0)\leq f(x)\qquad \forall x\in\ ]x_0-h,x_0+h[\ .$$ En efecto, una línea de este tipo puede considerarse "tangente" a $\gamma$ en $(x_0,y_0)$ .
En $f$ es diferenciable en $x_0$ entonces hay como máximo una $\ell$ y la correspondiente $m$ viene dado por $m=f'(x_0)$ .
Bluebird75
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Esta es una buena pregunta. Existe una noción geométrica de línea tangente, y varias definiciones que se podrían elegir para plasmar esa idea. Entonces se quiere demostrar que coincide con una de las definiciones del cálculo.
Un par de definiciones de cálculo:
(C1) Define la recta tangente en P como la recta que pasa por P y tiene la misma pendiente que la derivada. Esto no funciona en los casos en que la recta es vertical en P.
(C2) Una mejor definición basada en el cálculo es utilizar una curva parametrizada, y definir la recta tangente como aquella que apunta en la dirección de $(\dot{x},\dot{y})$ . Esto funciona cuando la línea tangente es vertical.
Geométricamente, se han propuesto varias posibilidades bastante buenas:
(G1) (Apolonio) Dado un punto Q que no está en la curva, sea P el punto de la curva más próximo a Q. Entonces la recta tangente a P es la recta que pasa por P y es perpendicular a PQ.
(G2) (Descartes) Sea P un punto de la curva, y sea C una circunferencia que toca a la curva sólo en P. Como Euclides ya ha definido la tangencia a una circunferencia (una recta tangente toca a la circunferencia sólo en un punto), tomamos la definición de tangente a la curva y la reducimos a la definición de tangente a C.
(G3) Sea P un punto de una curva. Una recta tangente en P es tal que si giramos la recta en el sentido de las agujas del reloj alrededor de P un ángulo arbitrariamente pequeño, entonces la recta girada corta a través de la curva en P, y si giramos en sentido contrario a las agujas del reloj un ángulo arbitrariamente pequeño, cortamos a través de la curva en la dirección opuesta.
De G1, G2 y G3, ninguno funciona en el punto final de un gráfico.
Me parece impar que aunque G1 y G2 están obviamente muy relacionados, si no son equivalentes, a Descartes se le atribuye G2, a pesar de que vivió mil años después que Apolonio. Quizá Descartes avanzó más en la aplicación de la definición.
Creo recordar que alguien en SE atribuyó G3 a un matemático de la antigua Grecia, pero no lo encuentro.
Una definición similar a G3 se da en Marsden y Weinstein, Calculus Unlimited, http://resolver.caltech.edu/CaltechBOOK:1981.001 . Hacen todo el trabajo de conectar esta definición con C1. No tratan el caso de una línea tangente vertical. Es bastante sencillo, por ejemplo, aplicar G3 a la parábola $y=x^2$ en $x=1$ .
No me parece evidente que se pueda demostrar que una de las definiciones más generales basadas en el cálculo, como C2, sea equivalente a una de estas definiciones geométricas. Habría que tratar con casos patológicos como $y=\sin (1/x)$ en $x=0$ para la que C2 da una recta tangente vertical (pero no define la orientación de la recta). La geometría clásica nunca se ocupó de este tipo de cosas. Para este ejemplo, creo que G1 y G2 fallan, mientras que no estoy seguro de que G3 pueda aplicarse.
egreg
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En el caso de las cónicas, la recta tangente puede definirse geométricamente; por ejemplo, en el círculo la tangente es la recta ortogonal al radio en el punto y pueden darse caracterizaciones similares para la elipse, la parábola y la hipérbola. Se trata de la geometría griega clásica, que más tarde pudo unificarse mediante la geometría proyectiva.
Hubo un problema cuando se empezó a tratar con curvas algebraicas de orden superior: la tangente ya no es la recta que no tiene ninguna otra intersección con la curva (la excepción de la parábola podría eliminarse fácilmente): en efecto, una tangente a una recta cúbica siempre interseca a la curva en otro punto, excepto en las flexiones. Sin embargo, en este caso la multiplicidad de intersecciones puede definirse rigurosamente con métodos puramente algebraicos, por lo que no hay ningún problema real para definir la tangente. Fermat se dio cuenta de que se podía utilizar un truco para determinar la tangente, que consiste esencialmente en tomar el límite; sin embargo, esto se puede justificar rigurosamente sin límites.
Consideremos un polinomio $f(X)$ y a partir de él construir el polinomio en dos variables $f(X+E)$ . Si formamos la diferencia $$ f(X+E)-f(X) $$ podemos ver que el polinomio $E$ divide a éste, por lo que podemos realizar la división, obteniendo un polinomio $g(X,E)$ tal que $$ f(X+E)-f(X)=g(X,E)E. $$ Ahora evalúa $f'(X)=g(X,0)$ . Es fácil ver que en un punto $(x_0,f(x_0))$ la recta tangente a la curva $y=f(x)$ es exactamente $$ y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0). $$ No estoy diciendo que Fermat lo hiciera de esta manera. Lo que digo es que la caracterización es puramente algebraica. Esto se puede extender a curvas definidas implícitamente por polinomios en dos variables como $$ F(X,Y)=X^3+Y^3-3XY. $$ Se sabe que Fermat resolvió el problema de determinar las tangentes a la folium Cartesii con su método algebraico de tal manera que el propio Descartes tuvo que reconocer la superioridad sobre su propio método.
En el caso de curvas trascendentales como la cicloide, no hay nada de esto. En algunos casos concretos se podían idear algunos métodos geométricos, pero era una situación parecida a la del cálculo de áreas por agotamiento: para cada caso había que encontrar una estrategia específica.
Debido a estos problemas, las matemáticas modernas actúan de forma diferente. Si $f$ es una función diferenciable en $x_0$ la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en $(x_0,f(x_0))$ es por definición la línea $$ y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0). $$ En todos los casos en los que se ha podido definir y calcular la tangente con los métodos anteriores, ésta resulta ser la misma recta encontrada anteriormente. Si la función no es diferenciable, la recta tangente no existe (excepción: tangentes verticales, que pueden tratarse tomando la función inversa u otro método similar). Esto demuestra que la definición es correcta.
Entonces, ¿cómo respondo a su pregunta? Muy sencillo: no tiene que demostrar nada, porque las definiciones no se "demuestran".
En los libros de texto se encuentra a menudo una justificación utilizando el "límite de las secantes": pero si se observa con atención, esto equivale a definir una métrica sobre el lápiz de las rectas que pasan por $(x_0,f(x_0))$ trasladando la métrica sobre la recta real utilizando la pendiente. Así que esta recta límite es justo la que tiene pendiente $$ \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x)}{h} $$ y realmente no se demuestra nada. Como mucho, esto ilustra nuestra intuición, pero no es una prueba.
MPritch
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Creo que has escrito mal, la línea tangente a una curva $f(x)$ es $y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+\color{green}{f(}x_0\color{green}{)}$ .
En cuanto a la demostración, tienes mucha información sobre la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $(x_0, f(x_0))$ . Si se denota esa línea como $y=mx+q$ Ya lo sabes: \begin{cases} f(x_0)=m\cdot x_0+q\\ m=f'(x_0) \end{cases} así, resolviendo el sistema se obtiene \begin{cases} m=f'(x_0)\\ q=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0 \end{cases} por lo que la línea solicitada es $$y=f'(x_0)\cdot x+f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)\qquad Q.E.D$$
