Puede algo dividir uno de sus divisores?

Question

Deje $x$ ser un elemento de un anillo y $d$ es un divisor de a $x$. Podemos tener $x \mid d$?

Ahí está el caso trivial en donde ambos $x$ $d$ son unidades. De lo contrario, tenemos $x=da$$d=xb$, lo $x=xba$, por lo que la cuestión se reduce a: ¿puede un elemento que divide a sí misma?

Answer 1

Esta pregunta ha sido considerado anteriormente en este hilo.. He aquí un resumen:

Robin Chapman da una referencia a la disponible libremente papel Cuando se Asocia Unidad Múltiplos? por Anderson, Axtell, Forman y Stickles.

En el documento, la siguiente se utiliza la notación: Vamos a $R$ ser un anillo conmutativo. Si dos elementos $a, b \in R$ satisfacer $a\mid b$$b\mid a$, son llamados los asociados y escribimos $a\sim b$. Si dos elementos $a, b\in R$ satisfacer $a=u b$ para algunos de una unidad de $u$, son llamados fuertemente asociados y escribimos $a\approx b$.

OP de la pregunta parece ser: ¿Qué elementos de la $a, b\in R$ en el anillo de satisfacer $a\sim b$?

Está claro que si $a\approx b$, $a\sim b$ (ver comentarios anteriores). El papel por encima de por Anderson et al. tiene como objetivo describir (entre otras cosas) los anillos conmutativos $R$ que $a\sim b$ implica $a\approx b$ todos los $a, b \in R$. Si $R$ es una parte integral de dominio, entonces esto es claramente cierto. (Ver Timoteo Wagner respuesta).

Aquí está una más general del teorema debido a Kaplansky:

Si $R$ es el principal ideal de anillo, o Artinian anillo, o un anillo de satisfacciones $Z(R )\subset J(R )$ (aquí se $Z(R )$ es el centro de la $R$, e $J(R )$ es Jacobson radical de $R$), $a\sim b$ implica $a\approx b$ todos los $a, b \in R$.