El conjunto $S=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^n = \mathbb{R}^{2n} ; x \neq y\}$ está conectado si $n \geq 2$ .

Question

Cuando n = 1 es fácil ver que no está conectado, sólo toma la división abierta $ S=U_1 \cup U_2$ tal que $U_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 ; x > y\}$ es $U_2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 ; x < y\}$ no es trivial.

Answer 1

Hasta una rotación de $\mathbb R ^{2n}$ que pides que $n$ el espacio $\mathbb R^{2n} - \mathbb R^{n}$ es un camino conectado, donde $\mathbb R^{n}$ se sienta en la primera $n$ coordenadas. Pero la contratación de la primera $n$ coordenadas es una equivalencia de homotopía que termina en $\mathbb R^{n} - 0$ .

Answer 2

Una pista: Dejemos que $n=2$ . Imagina que tienes $2$ pares de puntos en un plano (las coordenadas de $2$ puntos en $\mathbb R^{2\cdot2}$ ). ¿Puedes transformar un par en el otro sin colapsarlo a un punto en cualquier parte del camino?

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Respuesta: Consideremos dos pares de puntos $(x_1,y_1), (x_2,y_2)$ .

Si encontramos una transformación continua $\varphi(t):[0,1]\to\mathbb R^n\times\mathbb R^n$ , $\varphi(t)=(\varphi_1(t),\varphi_2(t))$ tal que $\varphi(0)=(x_1,y_1)$ , $\varphi(1)=(x_2,y_2)$ y $\varphi_1(t)\ne\varphi_2(t)$ para todos $t\in[0,1]$ entonces $\varphi$ determina un arco en $S=R^{2n}\setminus\{(x,x):x\in\mathbb R^n\}$ conectando los puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ .

Es fácil ver que hay muchas maneras de hacerlo. Por ejemplo, en $n=2$ siempre podemos conectar los puntos así y obviamente $\varphi_1(t)\ne\varphi_2(t)$ porque los arcos ni siquiera se cruzan.

En una prueba formal, usarías líneas poligonales y deberías hacerlo tú mismo.

Answer 3

Lema 1. Si $x,y,u,v\in\mathbb R^n$ son tales que $x-y,u-v$ son linealmente independientes, entonces la recta que une $(x,y)$ y $(u,v)$ es un subconjunto de $S$ .

Prueba: El punto general de la línea es de la forma $t(x,y)+(1-t)(u,v)$ . Si tal punto es $\notin S$ entonces $tx+(1-t)u=ty+(1-t)v$ es decir $t(x-y)+(1-t)(u-v)=0$ . Por la independencia lineal, $t=1-t=0$ contradicción. $_\square$

Lema 2. Si $V$ es un espacio vectorial, $u,v,w\in V$ y $u,v$ son linealmente independientes, y $u,w$ son linealmente dependientes, y $v,w$ son linealmente dependientes, entonces $w=0$ .

Prueba: Supongamos que $au+bw=cv+dw=0$ con $(a,b)\ne 0$ y $(c,d)\ne 0$ . Si $a=0$ o $c=0$ hemos terminado. Desde $0=d(au+bw)-b(cv+dw)=adu-bcv$ concluimos que $ad=bc=0$ y luego $d=b=0$ . Pero entonces $au=cv$ . $_\square$

Propuesta. Si $u,v\in\mathbb R^n$ son linealmente independientes y $(x,y)\in S$ entonces una de las líneas rectas que conectan $(x,y)$ con $(0,u)$ o con $(0,v)$ es un subconjunto de $S$ .

Prueba: Dejemos que $w=x-y$ en el lema 2. Como $(x,y)\in S$ , tenemos $w\ne 0$ Por lo tanto $u,w$ o $v,w$ son linealmente independientes. Entonces la afirmación se desprende del lema 1. $_\square$

Corolario. Si $n\ge 2$ entonces $S$ es un camino conectado.

Prueba: Podemos encontrar dos vectores linealmente independientes $u,v$ en $\mathbb R^n$ . Por el lema 1, la línea recta de $(0,u)$ a $(0,v)$ está en $S$ y cualquier punto $(x,y)\in S$ es el camino conectado a uno de estos dos puntos por la proposición. $_\square$