Campo vectorial y ecuaciones diferenciales

Question

Consideramos que a partir de $\mathbb{R}^2$ \ $\left \{ 0 \right \}$ el campo de vectores

$$X(x,y)=\left ( \dfrac{x}{x^2+y^2},\dfrac{y}{x^2+y^2} \right )$$

Cómo demostrar que la ecuación diferencial $\dot{\gamma }(t)=X(\gamma (t))$ para cualquier condición inicial $p \in \mathbb{R}^2$ \ $\left \{ 0 \right \}$ es una curva de solución a $\gamma: [0,+\infty) \to \mathbb{R}^2 $ \ $\left \{ 0 \right \}$ con $\gamma(0)=p$. Y es que esto también es cierto si se sustituye X por -X?

Answer 1

Tenga en cuenta que $X$ tiene la forma $X(x,y) = \varphi(x,y) Y(x,y)$ $\varphi(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2}$ $Y(x,y) = (x,y)$ y las soluciones para el sistema de $\dot{\alpha}(t) = Y(\alpha(t))$ son radiales de los segmentos de línea. Por lo tanto, las soluciones de $\dot{\gamma}(t) = X(\gamma(t))$ también se radial de los segmentos de línea con una diferente configuración de parámetros. Fix $p = (x_0,y_0) \neq (0,0) \in \mathbb{R}^2$ y escribir $r^2 = x_0^2 + y_0^2$. Si escribimos

$$ \gamma(t) = (x_0, y_0) + \psi(t) \left( \frac{x_0}{r^2}, \frac{y_0}{r^2} \right) = \left(1 + \frac{\psi(t)}{r^2} \right) (x_0, y_0) $$

entonces

$$ \dot{\gamma}(t) = \frac{\psi'(t)}{r^2} \left( x_0, y_0 \right) \\ X(\gamma(t)) = \frac{1}{1 + \frac{\psi(t)}{r^2} } \left( \frac{x_0}{x_0^2 + y_0^2}, \frac{y_0}{x_0^2 + y_0^2} \right) = \frac{1}{r^2 + \psi(t)} \left( x_0, y_0 \right) $$

y así, en orden de $\gamma$ es una curva integral de $X$ satisfacción $\gamma(0) = (x_0,y_0)$, la función de $\psi$ debe satisfacer

$$ \psi(0) = 0, \frac{\psi'(t)}{r^2} = \frac{1}{r^2 + \psi(t)}. $$

Esta es una ODA para $\psi$ cuya solución está dada por

$$ \psi(t) = -r^2 + r\sqrt{r^2 + 2t} = r(\sqrt{r^2 + 2t} - r) $$

que conduce a la

$$ \gamma(t) = \sqrt{1 + \frac{2t}{r^2}} \left( x_0, y_0 \right).$$