Esta es una pregunta que me he encontrado en un libro de texto:
Dado que $p=q+1$, $p$ y $q$ son enteros, a continuación, mostrar que $p^{2n} - 2nq-1$ es divisible por $q^2$ que $n$ es un entero positivo. Tomando un valor adecuado de $n$, $p$ y $q$, muestran que $3^{16}-33$ $3^{15}+5$ son divisibles por 4.
Mi prueba: $$p^{2n}-2nq-1=(1+q)^{2n}-2nq-1$$
$$=[1+2nq+\frac{(2n)(2n-1)}{2!} q^2+\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{3!}q^3+...]-2nq-1$$
$$=n(2n-1)q^2+\frac{2}{3} n(2n-1)(n-1)q^3+...$$
$$=q^2[n(2n-1)+\frac{2}{3} n(2n-1)(n-1)q+...]$$
De ahí que la expansión tiene un común factor $q^2$
Tomando $n=8$$p=3$, y dado que el $p=q+1, q=2$, por sustitución, $$3^{16} -33=4[120+1120+...]$$
Por factoring 3: $$3(3^{15}-11)=4[120+1120+...]$$
Dividir ambos lados por 3 y la adición de 15 a ambos lados: $$3^{15} +5=4[\frac{1}{3}(120+1120+...)+4]$$
Luego está demostrado que también es divisible por 4.
El único problema que tengo con la prueba de ello es que ¿cómo puedo saber que cada término entre corchetes $(120+1120+...)$ son divisibles por 3?
