Me siento obligado a escribir esta respuesta, basada en el hecho de que la respuesta de la cual fue aceptada, no tiene sentido.
Lo que el OP menciona parece ser una incrustación de $\mathbb{R}^5$ dentro del espacio de $M$ de hermitian $2\times 2$ matrices sobre los cuaterniones, que es $Sp(2)$-equivariant: donde: $Sp(2)$ actúa en $\mathbb{R}^5$ a través de la canónica de doble cubierta de la $Sp(2) \to SO(5)$, y actúa en $M$ por la conjugación.
Esto es análogo a la siguiente conocidos de la construcción.
Usted puede exhibir la doble cubierta de la $SL(2,\mathbb{C}) \to SO(3,1)_0$ como sigue. Identificar $\mathbb{R}^4$ con el real espacio vectorial $H$ de hermitian $2\times 2$ matrices. (Menos) el determinante de una hermitian $2 \times 2$ matriz define una forma cuadrática en $H$ de los provenientes de un producto interior de la firma $(3,1)$. Definir una acción de $SL(2,\mathbb{C})$$H$$h \mapsto s h s^\dagger$$h \in H$$s \in SL(2,\mathbb{C})$. Esta es una transformación lineal de $H$ que conserva el determinante (desde $s$ tiene unidad de determinante) y por lo tanto define un elemento de $O(3,1)$. Desde $SL(2,\mathbb{C})$ está conectado, en realidad define un surjective mapa de $SL(2,\mathbb{C}) \to SO(3,1)_0$ a la identidad de los componentes. El núcleo de este mapa es el grupo de la orden de $2$ generado por $-I$.
La analogía se rompe en que no hay quaternionic determinante en la general, pero tal vez para matrices en $M$ puede ser definido. No he comprobado.
Hay similar de doble cubre el cual puede ser descrito explícitamente en esta manera: por ejemplo, $SL(2,\mathbb{R}) \to SO(2,1)_0$$SL(2,\mathbb{H}) \to SO(1,5)_0$.
