El grupo de automorfismos de a $(\mathbb{R}, +)$

Question

Entiendo que el grupo de automorfismos de a $\mathbb{Q}$ (como un grupo) es isomorfo a $\mathbb{Q}^{\times}$.

Me pregunto lo que el grupo de automorfismos de a $\mathbb{R}$ (como un aditivo grupo).

Creo que este es isomorfo a $\mathbb{R}^\times$, pero no sé cómo demostrarlo. Mi idea es que (al igual que con $\mathbb{Q}$) un isomorfismo $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ debe satisfacer $$ \phi\left( \frac{n}{m}\right) = \frac{n}{m}\phi(1). $$ Pero, ¿qué debo hacer acerca de la no-racionales números reales?

Answer 1

No, es mucho, mucho más grande. Suponiendo que el axioma de elección, $\mathbb{R}$ tiene una base como una $\mathbb{Q}$-espacio vectorial, entonces es isomorfo a un (innumerables) suma directa de $\mathbb{R} \cong \bigoplus_I \mathbb{Q}$. Su automorphism grupo es $\text{GL}_I(\mathbb{Q})$, que es muy grande, y en particular nonabelian.

Answer 2

El grupo de continua automorfismos de a $(\mathbb{R}, +)$ es de hecho isomorfo con $\mathbb{R}^{\times}$ (el uso de su argumento, y la densidad de los racionales).

Pero el grupo arbitrario de automorfismos de a $(\mathbb{R}, +)$ es mucho mayor. Si $\phi$ es cualquier automorfismos de a $(\mathbb{R}, +)$, podemos, en efecto, que el $\phi(qx) = q .\phi(x)$ todos los $x \in \mathbb{R}$$q \in \mathbb{Q}$. Esto significa $\phi$ $\mathbb{Q}$- lineal automorphism de $\mathbb{R}$ (visto como un $\mathbb{Q}$-espacio vectorial), pero eso es todo lo que puedo decir. Así que si usted elige dos arbitrarias $(e_i)_{i \in I}$ $(f_i)_{i \in I}$ $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$, la lineal mapa que envía a $e_i$ $f_i$define un automorphism de $(\mathbb{R}, +)$.