Mostrando que $\ln(\sec 3t+\tan 3t)=2\tanh^{-1}(\tan(3t/2))$

Question

He estado tratando de mostrar que $$\ln(\sec 3t+\tan 3t)=2\tanh^{-1}(\tan(3t/2))$$

He utilizado la identidad $$\tanh^{-1}x=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}$$ a escribir: $$\begin{array}{tcl} 2\tanh^{-1}(\tan(3t/2))&=&2\cdot\frac12\ln\dfrac{1+\tan(3t/2)}{1-\tan(3t/2)}\\ 2\tanh^{-1}(\tan(3t/2))&=&\ln\dfrac{1+\tan(3t/2)}{1-\tan(3t/2)}\\ \end{array}$$ Luego he utilizado $$\tan\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{\sin\theta}$$ a escribir: $$\begin{array}{tcl} 2\tanh^{-1}(\tan(3t/2))&=&\ln\dfrac{1+\dfrac{1-\cos3t}{\sin3t}}{1-\dfrac{1-\cos 3t}{\sin 3t}}\\ 2\tanh^{-1}(\tan(3t/2))&=&\ln\dfrac{\sin 3t+1-\cos 3t}{\sin 3t-1+\cos 3t} \end{array}$$

Ahora, con el fin de mostrar que $$\ln(\sec 3t+\tan 3t)=\ln\dfrac{\sin 3t+1-\cos 3t}{\sin 3t-1+\cos 3t}$$ Necesito mostrar que $$\sec 3t+\tan 3t=\dfrac{\sin 3t+1-\cos 3t}{\sin 3t-1+\cos 3t}$$ Ahora, $$\begin{array}{tcl} \sec3t+\tan3t&=&\dfrac{1}{\cos 3t}+\dfrac{\sin 3t}{\cos 3t}\\ \sec3t+\tan3t&=&\dfrac{1+\sin 3t}{\cos 3t} \end{array}$$

Ahora, estoy atascado. ¿Cómo puedo demostrar que: $$\frac{\sin 3t+1-\cos 3t}{\sin 3t-1+\cos 3t}=\frac{1+\sin 3t}{\cos 3t}$$ Aquí hay algunas código de Matlab que aparentemente verifica la identidad.

t=linspace(-1.5,1/2,1000);
y1=(sin(3*t)+1-cos(3*t))./(sin(3*t)-1+cos(3*t));
y2=(1+sin(3*t))./cos(3*t);
plot(t,y1,'b','LineWidth',4),hold on
plot(t,y2,'r','LineWidth',2)
hold off

Y la imagen.

Answer 1

Usted está casi allí. Para probar $$\frac{\sin 3t+1-\cos 3t}{\sin 3t-1+\cos 3t}=\frac{1+\sin 3t}{\cos 3t},$$ usted necesita $$(\sin 3t+1-\cos 3t)\cos 3t=(\sin 3t-1+\cos 3t)(1+\sin 3t).$$ Ampliar: $$\sin 3t\cos 3t+\cos 3t-\cos^2 3t=\sin 3t-1+\cos 3t+\sin^2 3t-\sin 3t+\cos 3t\sin 3t,$$ que puede ser simplificado a $$\cos^23t+\sin^2 3t=1.$$

Answer 2

Quieres probar la identidad $$\ln(\sec 3t+\tan 3t)=2\tanh^{-1}(\tan(3t/2))$$

Podemos diferenciar ambos lados y demostrar que los instrumentos derivados de la misma.

Tenga en cuenta que $$ \frac {d}{dt} \ln(\sec 3t+\tan 3t) = 3 \sec 3t$$

También tenemos $$ \frac {d}{dt} 2\tanh^{-1}(\tan (3t/2))$$

$$=\frac {2\sec ^ 2 ( 3t/2)}{1-\tan ^2 (3t/2)} (3/2)=3 \sec 3t$$

Así, el differennce de las dos funciones es una constante.

Sobre la evaluación de las funciones a $t=0$ obtenemos la identidad.