Derivado de potencia de la serie con coeficientes no negativos

Question

Vamos $$f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_kx^k$$ be a power series mapping reals to reals, with radius of convergence $1$. Suppose $f'(x_0)$ exists in $(-1,1]$ (take the one-sided limit if $x_0 = 1$). Also suppose $a_k \geq 0$ for all $k$. Entonces, ¿es cierto siempre que $$f'(x_0) = \sum_{k=0}^\infty ka_kx^{k-1}?$$

Este sostiene claramente si $x_0 \in (-1,1)$. Pero, ¿qué acerca de la $x_0 = 1$?

Answer 1

La respuesta a la pregunta es sí. Esto se deduce a partir del teorema de Abel, ya que asumir la $a_k$ (y, por tanto,$k a_k$) son positivos. Si usted asume que $\sum_k k a_k$ converge, entonces es un immedeate consecuencia del teorema de Abel que $\sum_k k a_kx^{k-1}$ converge para $x\rightarrow 1^- $$\sum_k k a_k$.

Si, por otro lado, la suma no convergen, divergen a $\infty$ (ya que todos los términos son los números reales no negativos), por lo que la generalizada del teorema de Abel (ver el enlace que aparece más arriba en el campo de comentarios) se aplica de nuevo, que establece que, en este caso la función de $g(z)=\sum_k k a_kx^{k-1}$ va a la $\infty$ al $x\rightarrow 1$. Desde que asumimos que esto no es cierto, estás de vuelta en el primer caso.

Lo que está pidiendo aquí es un caso especial de lo que se conoce como 'Tauberian therom', que también podría referirse. Me pregunto, sin embargo, si es posible dar una primaria de la prueba en este caso....