Búsqueda de Sylow 2-subgrupos de la diedro grupo $D_n$

Question

Yo estoy tratando de describir la Sylow 2-subgrupos de un arbitrario diedro grupo $D_n$ orden $|2n|$. En el caso de que $n$ es impar, 2 es la potencia máxima división del 2$n$, de modo que todos los Sylow 2-subgrupos tiene orden 2, y es bastante fácil de describir.

Sin embargo, si $n$ es impar, podemos factor de potencia de 2 y escribir $|D_n|=2^{k} m$ para un entero impar $m$.

Hay una prueba de que existen, precisamente, $m$ Sylow 2-subgrupos, pero no proporciona una descripción explícita de tales subgrupos en el caso de $n$ es impar. Aquí: https://crazyproject.wordpress.com/2010/05/26/computation-of-the-number-of-sylow-2-subgroups-in-dih2n/

Además, alguien ha hecho una pregunta similar en el pasado, y afirman que para dar una descripción de la Sylow 2-subroups en el caso de $n$ es extraño, pero no puedo encontrar una fuente o una explicación. La cuestión aquí es: la Enumeración de Sylow $2$-subgrupos de Diedro Grupo (de orden $2^{\alpha}k$ $k$ impar).

¿Alguien puede proporcionar una descripción de cómo uno puede determinar con precisión la Sylow 2-subgrupos para el caso de $n$ es impar? Gracias.

Answer 1

Este sencillo lema puede ser útil:

Intersección de un subgrupo normal $N$ con Sylow-$p$ subgrupo de $G$ es Sylow-$p$ subgrupo de $N$.

En diedro grupo de orden $2n$, hay un subgrupo normal natural - grupo cíclico de orden $n$, que consta de rotaciones. En grupos cíclicos, es mucho más fácil y trivial decir lo que podría ser el Sylow-$2$ subgrupo de ella? Deje $H$ ser el Sylow-$2$ subgrupo de este subgrupo cíclico. Deje $t$ cualquier elemento de orden $2$ que está fuera subgrupo cíclico de orden $n$; tal elemento es el de la reflexión. a continuación, $\langle H,t\rangle =H\cup Ht$ es un Sylow-$2$ subgrupo de diedro grupo.

Por qué "a"? Por ejemplo, considere la posibilidad de diedro grupo de orden $12$. Tiene un subgrupo cíclico de orden $6$; lo que es Sylow-$2$ subgrupo en que? Es $H\cong \mathbb{Z}_2$. A esta $H$ damos un elemento de orden $2$ fuera cíclico grupo oforder $6$, decir $t$. A continuación, $H\cup Ht$ es Sylow-$2$ subgrupo. En este Sylow -$2$, el subgrupo de elementos de la $Ht$ son reflexiones; hay $|Ht|=|H|=2$ reflexiones en uno de Sylow-$2$ subgrupo. En $G$ hay $6$ reflexiones, y en Sylow-$2$ subgrupo, vienen las $2$ reflexiones. Así que debemos tener , al menos, tres Sylow-$2$ subgrupos; y de hecho, tenemos exactamente $3$ Sylow-$2$ subgrupos aquí.