Generación a partir de la distribución Dirichlet con las diferencias en una secuencia de uniformes ordenados

Question

En primer lugar, supongamos que queremos generar desde un Dirichlet (1,1,1,1). ¿Sería correcto el siguiente método?:

• generar tres variantes a partir de un Uniforme(0,1). Llámelas $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ .
• entonces, ordénelos de tal manera que $0 \leq x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq x_{(3)} \leq 1$
• entonces, devuelve las diferencias como nuestra variante Dirichlet: $(x_{(1)}, x_{(2)}-x_{(1)}, x_{(3)}-x_{(2)}, 1-x_{(3)})$

¿Es esto correcto? Tengo la sensación de que es correcto, pero no estoy seguro y esto no parece ser lo mismo que cualquier método descrito en Wikipedia o cualquier otra búsqueda que hice. Quizá sea lento o tenga otros problemas, pero tengo curiosidad por saber si es correcto.

Suponiendo que esto sea correcto, ¿se puede extender a Dirichlets no uniformes, como Dirichlet(a,b,c,d)?

Nota adicional : Soy no simplemente preguntando cómo generar un Dirichlet; ya hay mucha información al respecto. Sólo tengo curiosidad por saber si el método para los uniformes se puede ampliar. ¿Existe un método más general que implique dibujar a partir de una distribución, luego ordenar esos números y después utilizar los huecos?

Answer 1

Si $Y_i$ son independientes $\mathrm{Gamma}(\alpha_i,\beta)$ , para $i=1,\dots,k$ entonces $$ (X_1,\dots,X_k) = \left(\frac{Y_1}{\sum_{j=1}^k Y_j}, \dots, \frac{Y_k}{\sum_{j=1}^k Y_j} \right) \sim \mathrm{Dirichlet}(\alpha_1,\dots,\alpha_k) \, .$$ Por lo tanto, en R sólo hay que hacer algo como

rdirichlet <- function(a) {
    y <- rgamma(length(a), a, 1)
    return(y / sum(y))
}

Y utilizarlo uniformemente

> rdirichlet(c(1, 1, 1, 1))
[1] 0.40186737 0.03924152 0.37070316 0.18818796

o no uniformemente

> rdirichlet(c(3, 2.5, 9, 7))
[1] 0.1377426 0.1043081 0.4701179 0.2878314

La prueba se encuentra en la página 594 del hermoso libro de Luc Devroye:

http://luc.devroye.org/rnbookindex.html

P.D. Gracias a @cardinal por los consejos de R hacking.

Answer 2

Dejemos que $U_{(1)},U_{(2)}, \ldots, U_{(n)}$ sean las estadísticas de orden de $U(0,1)$ distribución. Sea $W_0 = U_{(1)},W_i = U_{(i+1)}-U{(i)}$ , $1 \leq i \leq n-1$ .

Entonces $(W_0, W_1, \ldots, W_{n-1}) \sim \cal{D}(\alpha)$ una distribución dirichlet con parámetro $\alpha_{n+1,1} = (1,1,\ldots,1)$ . Es decir, $(W_0, W_1, \ldots, W_{n-1})$ se distribuye uniformemente en el simplex de n dimensiones.