La integridad implica geodésico de integridad, de una forma más conceptual?

Question

Sabemos de la geometría de Riemann que para colectores de Riemann, la integridad y geodésico de la integridad son equivalentes, por lo que es generalmente una consecuencia de Hopf-Rinow teorema. Sin embargo, estoy considerando la posibilidad de una más conceptual reformalization de este hecho. Vamos a considerar el más simple de dirección de este.

Supongamos $M$ es un colector de Riemann y $UM$ es su unidad esfera paquete. Levi-Civita de conexión da un vector horizontal de campo $W$$UM$, lo que determina el local geodésica de flujo. Si $M$ es completa, debemos mostrar que la geodésica de flujo en $UM$ es completa, es decir curvas integrales son indefinidamente extensible.

Supongo que va a seguir de una manera más general el resultado de los haces de fibras y campos vectoriales. Por ejemplo, sabemos que las fibras de $UM\to M$ son compactos, y $W$ es horizontal. Es como en el teorema sobre la integridad de los flujos de campos vectoriales compactos a los colectores. Parece una forma más natural para formalizar la declaración.

Alguna ayuda? Gracias!

Answer 1

Sólo con el fin de cerrar este asunto:

1. Hay dos más fáciles de existencia teoremas en la geometría diferencial:

una. Si $E\to M$ es un haz de fibras (por ejemplo, un director de grupo, para la concreción) equipado con una conexión de $\nabla$, entonces cada curva suave en $M$ levanta a una suave curva horizontal en $E$.

b. Si $M$ es un compacto de Finsler colector y $\nabla$ es compatible afín a la conexión, a continuación, geodésica de flujo de $\nabla$ existe para todos los valores del parámetro de tiempo.

Ambos teoremas son de aplicación simple de existencia-unicidad teoremas de Odas en colectores; en el 2º caso, el correspondiente teorema es:

Teorema. Deje $U$ ser un suave compacto colector y $X$ ser suave, un campo de vectores en $U$. A continuación, $X$ da lugar a un 1-dimensional grupo de diffeomorphisms (flujo) en $U$, $f_t: U\to U$, $\frac{d}{dt}f(u)=X(u)$, $u\in U$.

2. En contraste, de Hopf-Rinow teorema es un resultado mucho más difícil, en la que se relaciona la geometría métrica de Riemann (de manera más general, Finsler) colector a su geodésica de flujo. La dirección de métrica integridad a geodésica integridad es la más fácil. La métrica de integridad de la asunción es una herramienta que permite esencialmente reducir la existencia de flujo para el caso compacto (cuando se trata de subconjuntos compactos de la unidad de la tangente bundle). En el proceso de la prueba, se tiene que establecer varias cosas importantes que no son en absoluto evidente (y que se hacen la prueba complicado):

una. Relación de distancia al minimizar las curvas de geodesics (que son los mismos a nivel local).

b. Relación de la métrica de la topología de $M$ a de sus múltiples topología (que son la misma).

Sin embargo, incluso teniendo en cuenta (a) y (b), la prueba de que aún requiere de algunos trucos.

3. Por otro lado, la noción de un "geodésica" tiene sentido más allá de Finsler la geometría, en el contexto de afín estructuras (afín a las conexiones de la tangente paquete de $M$) y, más en general, para proyectiva y de conformación de las estructuras (esto se discute, creo, en Nomizu del libro "la Transformación de los grupos"). La compacidad del colector $M$ ya no garantiza geodésica integridad. Sin embargo, la pregunta "en qué medida la compacidad implica geodésica integridad" es importante y sigue siendo un tema de investigación activa. Por ejemplo, aquí es un poco conocido teorema de Y. Carriere (1989) que resultó

Teorema. Compacto de Lorenz colectores son geodesically completa.